Номер 11, страница 22 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 11, страница 22.

Условие.

3.11. Дана призма $ABC A_1 B_1 C_1$ (рис. 3.26). Точка $D$ принадлежит прямой $CC_1$, точка $E$ – ребру $BC$. Постройте сечение призмы плоскостью $AED$.

Рис. 3.26

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $AED$ необходимо найти линии пересечения этой плоскости с гранями призмы. Построение выполняется пошагово методом следов.

1. Точки $A$ и $E$ принадлежат секущей плоскости и одновременно лежат в плоскости нижнего основания $ABC$. Следовательно, отрезок $AE$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $ABC$ и одной из сторон искомого сечения.

2. Точки $E$ и $D$ принадлежат секущей плоскости, а также лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$ (так как $E \in BC$, а $D \in CC_1$). Это означает, что прямая $ED$ является следом секущей плоскости на плоскости $(BCC_1)$. Найдем точку пересечения этой прямой с ребром призмы, принадлежащим данной грани. Прямая $ED$ пересекает ребро $B_1C_1$ в точке, которую мы обозначим $K$. Таким образом, $K = ED \cap B_1C_1$. Отрезок $EK$ — это сторона сечения, лежащая на грани $BCC_1B_1$.

3. Аналогично, точки $A$ и $D$ принадлежат секущей плоскости и лежат в плоскости боковой грани $ACC_1A_1$ (так как $A$ — вершина призмы, а $D \in CC_1$). Прямая $AD$ является следом секущей плоскости на плоскости $(ACC_1A_1)$. Найдем точку пересечения прямой $AD$ с ребром $A_1C_1$ и обозначим ее $L$. Таким образом, $L = AD \cap A_1C_1$. Отрезок $AL$ — это еще одна сторона сечения, которая лежит на грани $ACC_1A_1$.

4. В результате предыдущих шагов мы получили две новые вершины сечения: точку $K$ на ребре $B_1C_1$ и точку $L$ на ребре $A_1C_1$. Обе эти точки лежат в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$. Соединив их, мы получим отрезок $KL$, который является следом секущей плоскости на верхней грани $A_1B_1C_1$ и последней стороной искомого сечения.

5. Последовательно соединив точки $A$, $E$, $K$ и $L$, мы получаем замкнутый четырехугольник $AEKL$. Этот четырехугольник и есть искомое сечение призмы плоскостью $AED$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $AEKL$, где $K$ — точка пересечения прямой $ED$ с ребром $B_1C_1$, а $L$ — точка пересечения прямой $AD$ с ребром $A_1C_1$.