Номер 7, страница 22 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 7, страница 22.

Условие.

3.7. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через:

1) точки $A, C$ и $B_1$;

2) прямую $BD$ и точку $C_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $A$, $C$ и $B_1$.

Для построения сечения необходимо последовательно соединить заданные точки отрезками, лежащими в плоскостях граней куба.

1. Точки $A$ и $C$ лежат в одной плоскости – плоскости нижнего основания $ABCD$. Следовательно, мы можем провести отрезок $AC$, который будет являться следом секущей плоскости на грани $ABCD$.
2. Точки $A$ и $B_1$ лежат в одной плоскости – плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Соединим их отрезком $AB_1$. Этот отрезок является следом секущей плоскости на грани $ABB_1A_1$.
3. Точки $C$ и $B_1$ лежат в одной плоскости – плоскости правой боковой грани $BCC_1B_1$. Соединим их отрезком $CB_1$. Этот отрезок является следом секущей плоскости на грани $BCC_1B_1$.

В результате мы получаем замкнутую фигуру – треугольник $ACB_1$, который и является искомым сечением куба.

Стоит отметить, что стороны этого треугольника ($AC$, $AB_1$ и $CB_1$) являются диагоналями равных квадратов (граней куба). Если ребро куба равно $a$, то длина каждой из этих диагоналей равна $a\sqrt{2}$. Таким образом, сечение представляет собой равносторонний треугольник.

Ответ: Искомое сечение – треугольник $ACB_1$.

2) Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через прямую $BD$ и точку $C_1$.

Плоскость сечения задана прямой $BD$ и точкой $C_1$, не лежащей на этой прямой. Для построения сечения соединим эти элементы.

1. Так как секущая плоскость проходит через прямую $BD$, то отрезок $BD$ (диагональ нижнего основания) целиком принадлежит сечению. Это след секущей плоскости на грани $ABCD$.
2. Теперь рассмотрим точку $C_1$ и точки $B$ и $D$. Точки $B$ и $C_1$ лежат в одной плоскости – плоскости правой боковой грани $BCC_1B_1$. Соединим их отрезком $BC_1$. Это след секущей плоскости на грани $BCC_1B_1$.
3. Точки $D$ и $C_1$ лежат в одной плоскости – плоскости задней грани $CDD_1C_1$. Соединим их отрезком $DC_1$. Это след секущей плоскости на грани $CDD_1C_1$.

Соединив точки $B$, $D$ и $C_1$, мы получаем замкнутую фигуру – треугольник $BDC_1$, который и является искомым сечением.

Как и в предыдущем пункте, стороны этого треугольника ($BD$, $BC_1$ и $DC_1$) являются диагоналями равных граней куба, а значит, они равны между собой. Следовательно, сечение представляет собой равносторонний треугольник.

Ответ: Искомое сечение – треугольник $BDC_1$.