Номер 19, страница 57 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 19, страница 57.

Условие.

6.19. На рёбрах AB и $A_1D_1$ куба ABCD $A_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки E и F, а на продолжении ребра $B_1C_1$ за точку $C_1$ – точку K (рис. 6.17). Постройте сечение куба плоскостью EFK.

Рис. 6.17

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $EFK$ выполним следующие шаги:

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости верхней грани.

Точки $F$ и $K$ лежат в плоскости верхней грани куба $(A_1B_1C_1)$. Проведем через них прямую $FK$. Прямая $FK$ является следом (линией пересечения) секущей плоскости с плоскостью $(A_1B_1C_1)$. Эта прямая пересекает ребро $C_1D_1$ в некоторой точке, которую назовем $L$. Отрезок $FL$ является стороной искомого сечения, лежащей на верхней грани куба.

2. Построение следа секущей плоскости на плоскости передней грани.

Прямая $FK$ и прямая $A_1B_1$ лежат в одной плоскости $(A_1B_1C_1)$. Найдем точку их пересечения, для этого продлим отрезок $A_1B_1$ за точку $A_1$ до пересечения с прямой $FK$. Назовем эту точку $M$. Точка $M$ принадлежит секущей плоскости $EFK$.

Теперь рассмотрим переднюю грань $(ABB_1)$. Точка $E$ (по условию) и построенная точка $M$ лежат в плоскости этой грани. Проведем через них прямую $ME$. Прямая $ME$ является следом секущей плоскости на плоскости $(ABB_1)$. Прямая $ME$ пересекает ребро $AA_1$ в некоторой точке, которую назовем $P$. Отрезок $EP$ — это сторона сечения, лежащая на передней грани.

3. Построение стороны сечения на левой грани.

Точки $P$ и $F$ принадлежат секущей плоскости и лежат в плоскости левой грани $(ADD_1)$. Соединим их. Отрезок $PF$ — это сторона сечения, лежащая на левой грани.

4. Построение стороны сечения на задней грани.

Задняя грань $(CDD_1)$ параллельна передней грани $(ABB_1)$. Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Следовательно, линия пересечения плоскости сечения с задней гранью будет параллельна линии ее пересечения с передней гранью, то есть прямой $PE$.

У нас уже есть точка $L$, принадлежащая задней грани. Проведем через точку $L$ прямую, параллельную $PE$. Эта прямая пересечет ребро $CD$ в некоторой точке, которую назовем $N$. Отрезок $LN$ — это сторона сечения, лежащая на задней грани.

5. Завершение построения сечения.

Точки $N$ и $E$ принадлежат секущей плоскости и лежат в плоскости нижней грани $(ABC)$. Соединим их. Отрезок $NE$ — последняя сторона сечения, лежащая на нижней грани.

В результате мы получили замкнутый пятиугольник $PFLNE$. Этот пятиугольник и является искомым сечением куба.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $PFLNE$.