Номер 23, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 23, страница 58.

Условие.

6.23. Точка $E$ принадлежит основанию $ABCD$ пирамиды $MABCD$ (рис. 6.19). Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку $E$ параллельно плоскости $CMD$.

Рис. 6.19

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

6.23. Построение сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку $E$ параллельно плоскости $CMD$, выполняется в несколько шагов. Пусть искомая секущая плоскость называется $\sigma$.
По определению, плоскость $\sigma$ будет параллельна плоскости $CMD$, если в плоскости $\sigma$ найдутся две пересекающиеся прямые, которые соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в плоскости $CMD$ (например, $CD$ и $MD$).

Алгоритм построения:

1. Построение следа секущей плоскости на основании. Так как секущая плоскость $\sigma$ параллельна плоскости $CMD$, то линия их пересечения с плоскостью основания $ABCD$ будут параллельны. Линия пересечения плоскости $CMD$ с плоскостью $ABCD$ — это прямая $CD$. Следовательно, след плоскости $\sigma$ на плоскости основания должен быть параллелен $CD$. Проведем в плоскости основания $ABCD$ через точку $E$ прямую, параллельную $CD$. Пусть эта прямая пересекает стороны основания $AD$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Отрезок $PQ$ — одна из сторон искомого сечения. Таким образом, по построению $PQ \parallel CD$.
2. Построение следа на грани MAD. Секущая плоскость $\sigma$ и плоскость грани $MAD$ пересекаются по прямой, проходящей через точку $P$. Плоскость $MAD$ пересекает плоскость $CMD$ по прямой $MD$. Так как $\sigma \parallel (CMD)$, то их линии пересечения с третьей плоскостью ($MAD$) должны быть параллельны. Следовательно, в плоскости грани $MAD$ проведем через точку $P$ прямую, параллельную ребру $MD$. Пусть она пересечет ребро $MA$ в точке $R$. Отрезок $PR$ — вторая сторона сечения. По построению $PR \parallel MD$.
3. Построение следа на грани MBC. Аналогично, плоскость грани $MBC$ пересекает плоскость $CMD$ по прямой $MC$. Так как $\sigma \parallel (CMD)$, то их линии пересечения с плоскостью $MBC$ должны быть параллельны. Проведем в плоскости грани $MBC$ через точку $Q$ прямую, параллельную ребру $MC$. Пусть она пересечет ребро $MB$ в точке $S$. Отрезок $QS$ — третья сторона сечения. По построению $QS \parallel MC$.
4. Завершение построения. Соединим точки $R$ и $S$, лежащие в плоскости грани $MAB$. Отрезок $RS$ — четвертая сторона сечения.

Четырехугольник $PQSR$ является искомым сечением. Он построен по трем точкам $P$, $Q$, $R$, которые однозначно задают секущую плоскость $\sigma$. Эта плоскость проходит через точку $E$ (поскольку $E$ лежит на $PQ$) и параллельна плоскости $CMD$ (поскольку две пересекающиеся прямые $PQ$ и $PR$ в плоскости $\sigma$ параллельны двум пересекающимся прямым $CD$ и $MD$ в плоскости $CMD$).
Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $PQSR$, построенный в соответствии с приведенным алгоритмом.

6.24. Дано:
Плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$ ($\alpha \parallel \beta$).
Плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\gamma$ ($\beta \parallel \gamma$).
Плоскости $\alpha$ и $\gamma$ — разные ($\alpha \neq \gamma$).
Доказать:
Плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\gamma$ ($\alpha \parallel \gamma$).

Доказательство:
Будем использовать метод доказательства от противного. Предположим, что утверждение неверно, то есть плоскости $\alpha$ и $\gamma$ не параллельны.
По определению, если две плоскости не параллельны, они пересекаются. Так как по условию $\alpha$ и $\gamma$ — разные плоскости, то их пересечением будет некоторая прямая $l$.
$l = \alpha \cap \gamma$.
Возьмем на этой прямой $l$ любую точку $P$. Так как точка $P$ лежит на линии пересечения, она принадлежит обеим плоскостям: $P \in \alpha$ и $P \in \gamma$.
По условию задачи, плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$. Это означает, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ не имеют общих точек. Поскольку $P \in \alpha$, то точка $P$ не может принадлежать плоскости $\beta$, то есть $P \notin \beta$.
Итак, мы имеем точку $P$, не лежащую в плоскости $\beta$. Через эту точку $P$ проходят две плоскости: $\alpha$ и $\gamma$.
При этом, согласно условию:

• плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$;
• плоскость $\gamma$ параллельна плоскости $\beta$ (так как $\beta \parallel \gamma$ равносильно $\gamma \parallel \beta$).

Получается, что через точку $P$, не принадлежащую плоскости $\beta$, проходят две различные (по условию $\alpha \neq \gamma$) плоскости, обе параллельные плоскости $\beta$.
Это противоречит теореме о существовании и единственности плоскости, параллельной данной: через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.
Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\gamma$ не могут пересекаться. А так как они не совпадают, они должны быть параллельны.
Таким образом, $\alpha \parallel \gamma$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.