Номер 249, страница 61 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

2.249. Алкан, алкен и алкин, молекулы которых содержат одинаковое количество атомов водорода, образуют газовую смесь, которая тяжелее воздуха. Объём кислорода, необходимый для полного сжигания этой смеси, в 1,5 раза больше объёма образующегося при этом углекислого газа. Если исходную газовую смесь пропустить через избыток аммиачного раствора оксида серебра, то её относительная плотность по водороду уменьшится на 4. Определите строение углеводородов и их мольные доли в исходной смеси.

Дано:

Смесь: алкан ($C_n H_{2n+2}$), алкен ($C_m H_{2m}$), алкин ($C_k H_{2k-2}$)
1. Количество атомов водорода во всех молекулах одинаково.
2. $M_{ср. смеси} > M_{воздуха}$ ($M_{воздуха} \approx 29 \text{ г/моль}$)
3. $\frac{V(O_2)}{V(CO_2)} = 1,5$ при полном сгорании.
4. При пропускании через избыток аммиачного раствора $Ag_2O$ относительная плотность по водороду уменьшается на 4 ($D_{H_2, нач} - D_{H_2, кон} = 4$).

Найти:

Строение углеводородов и их мольные доли в исходной смеси.

Решение:

1. Определим общие формулы углеводородов в смеси.
Пусть число атомов водорода в каждой молекуле равно $N_H$.
Для алкана ($C_n H_{2n+2}$): $N_H = 2n+2$.
Для алкена ($C_m H_{2m}$): $N_H = 2m$.
Для алкина ($C_k H_{2k-2}$): $N_H = 2k-2$.
Приравнивая число атомов водорода, получаем: $2n+2 = 2m = 2k-2$.
Отсюда можно выразить $n$ и $k$ через $m$:
$2n = 2m-2 \Rightarrow n = m-1$.
$2k = 2m+2 \Rightarrow k = m+1$.
Таким образом, формулы углеводородов в смеси:
Алкан: $C_{m-1}H_{2m}$
Алкен: $C_mH_{2m}$
Алкин: $C_{m+1}H_{2m}$
Для существования алкана $C_{m-1}H_{2m}$ необходимо, чтобы число атомов углерода было не меньше 1, т.е. $m-1 \ge 1$, откуда $m \ge 2$.

2. Проанализируем реакцию горения смеси.
Пусть мольные доли алкана, алкена и алкина в смеси равны $x_1$, $x_2$ и $x_3$ соответственно, причем $x_1 + x_2 + x_3 = 1$.
Запишем уравнения сгорания для каждого компонента (в расчете на 1 моль вещества):
$C_{m-1}H_{2m} + \frac{3m-2}{2}O_2 \rightarrow (m-1)CO_2 + mH_2O$
$C_mH_{2m} + \frac{3m}{2}O_2 \rightarrow mCO_2 + mH_2O$
$C_{m+1}H_{2m} + \frac{3m+2}{2}O_2 \rightarrow (m+1)CO_2 + mH_2O$
Общее количество вещества кислорода, необходимого для сжигания смеси (взятой в количестве 1 моль), равно:
$n(O_2) = x_1 \cdot \frac{3m-2}{2} + x_2 \cdot \frac{3m}{2} + x_3 \cdot \frac{3m+2}{2}$
Общее количество вещества углекислого газа, образующегося при сгорании:
$n(CO_2) = x_1(m-1) + x_2 m + x_3(m+1)$
По условию, отношение объемов (а значит, и количеств веществ) кислорода и углекислого газа равно 1,5:
$\frac{n(O_2)}{n(CO_2)} = 1.5$
$x_1 \frac{3m-2}{2} + x_2 \frac{3m}{2} + x_3 \frac{3m+2}{2} = 1.5 \cdot (x_1(m-1) + x_2 m + x_3(m+1))$
Умножим обе части на 2:
$x_1(3m-2) + x_2(3m) + x_3(3m+2) = 3(x_1(m-1) + x_2 m + x_3(m+1))$
$3mx_1 - 2x_1 + 3mx_2 + 3mx_3 + 2x_3 = 3mx_1 - 3x_1 + 3mx_2 + 3mx_3 + 3x_3$
Сгруппируем члены:
$3m(x_1+x_2+x_3) - 2x_1 + 2x_3 = 3m(x_1+x_2+x_3) - 3x_1 + 3x_3$
Так как $x_1+x_2+x_3 = 1$:
$3m - 2x_1 + 2x_3 = 3m - 3x_1 + 3x_3$
$-2x_1 + 2x_3 = -3x_1 + 3x_3$
$x_1 = x_3$.
Это означает, что мольные доли алкана и алкина в смеси равны.

3. Проанализируем изменение плотности смеси.
При пропускании смеси через аммиачный раствор оксида серебра реагируют только алкины с концевой тройной связью (терминальные алкины). Это значит, что алкин $C_{m+1}H_{2m}$ является терминальным и удаляется из смеси.
Связь между относительной плотностью по водороду $D_{H_2}$ и средней молярной массой смеси $M_{ср}$ выражается формулой: $M_{ср} = D_{H_2} \cdot M(H_2) = 2D_{H_2}$.
По условию, $D_{H_2, нач} - D_{H_2, кон} = 4$.
Следовательно, $M_{ср, нач} - M_{ср, кон} = 2 \cdot 4 = 8 \text{ г/моль}$.
Вычислим молярные массы компонентов:
$M_1(алкан) = M(C_{m-1}H_{2m}) = 12(m-1) + 2m = 14m - 12$
$M_2(алкен) = M(C_mH_{2m}) = 12m + 2m = 14m$
$M_3(алкин) = M(C_{m+1}H_{2m}) = 12(m+1) + 2m = 14m + 12$
Средняя молярная масса исходной смеси:
$M_{ср, нач} = x_1 M_1 + x_2 M_2 + x_3 M_3$.
Учитывая, что $x_1 = x_3$ и $x_2 = 1 - 2x_1$:
$M_{ср, нач} = x_1(14m - 12) + (1 - 2x_1)(14m) + x_1(14m + 12)$
$M_{ср, нач} = 14mx_1 - 12x_1 + 14m - 28mx_1 + 14mx_1 + 12x_1 = 14m$.
После поглощения алкина в смеси остаются алкан и алкен. Общее количество вещества в конечной смеси (в расчете на 1 моль исходной) составляет $x_1 + x_2 = x_1 + (1-2x_1) = 1-x_1$.
Средняя молярная масса конечной смеси:
$M_{ср, кон} = \frac{n(алкан) \cdot M_1 + n(алкен) \cdot M_2}{n(алкан) + n(алкен)} = \frac{x_1 M_1 + x_2 M_2}{x_1 + x_2}$
$M_{ср, кон} = \frac{x_1(14m - 12) + (1 - 2x_1)(14m)}{1 - x_1} = \frac{14mx_1 - 12x_1 + 14m - 28mx_1}{1 - x_1} = \frac{14m - 14mx_1 - 12x_1}{1 - x_1}$
$M_{ср, кон} = \frac{14m(1 - x_1) - 12x_1}{1 - x_1} = 14m - \frac{12x_1}{1 - x_1}$.
Подставим найденные выражения в разность молярных масс:
$M_{ср, нач} - M_{ср, кон} = 14m - (14m - \frac{12x_1}{1 - x_1}) = 8$
$\frac{12x_1}{1 - x_1} = 8$
$12x_1 = 8(1 - x_1) \Rightarrow 12x_1 = 8 - 8x_1 \Rightarrow 20x_1 = 8 \Rightarrow x_1 = 0.4$.
Теперь найдем мольные доли всех компонентов:
$x_1$ (алкан) = 0,4
$x_3$ (алкин) = $x_1$ = 0,4
$x_2$ (алкен) = $1 - x_1 - x_3 = 1 - 0.4 - 0.4 = 0.2$.

4. Определим строение углеводородов.
Средняя молярная масса исходной смеси $M_{ср, нач} = 14m$.
По условию, смесь тяжелее воздуха, т.е. $M_{ср, нач} > M_{воздуха} \approx 29 \text{ г/моль}$.
$14m > 29 \Rightarrow m > \frac{29}{14} \approx 2.07$.
Учитывая, что $m$ - целое число и $m \ge 2$, наименьшее возможное значение $m = 3$.
Проверим, являются ли компоненты при $m=3$ газами, как указано в условии.
При $m=3$ имеем:
Алкан ($C_{m-1}H_{2m}$): $C_2H_6$ - этан (t_кип = -89 °C, газ).
Алкен ($C_mH_{2m}$): $C_3H_6$ - пропен (t_кип = -47.6 °C, газ).
Алкин ($C_{m+1}H_{2m}$): $C_4H_6$. Поскольку он реагирует с аммиачным раствором оксида серебра, это терминальный алкин - бутин-1 (t_кип = 8.1 °C, газ при стандартных условиях).
Все три вещества являются газами (или легколетучими жидкостями, образующими газовую смесь).
Если бы мы взяли $m=4$, то алкином был бы $C_5H_8$ - пентин-1 (t_кип = 40 °C), который является жидкостью при стандартных условиях, что делает вариант $m=3$ наиболее вероятным.
Таким образом, углеводороды в смеси:
Алкан: этан, $CH_3-CH_3$.
Алкен: пропен, $CH_3-CH=CH_2$.
Алкин: бутин-1, $CH_3-CH_2-C \equiv CH$.

Ответ:

Строение углеводородов:
Алкан - этан ($CH_3-CH_3$)
Алкен - пропен ($CH_3-CH=CH_2$)
Алкин - бутин-1 ($CH_3-CH_2-C \equiv CH$)

Мольные доли в исходной смеси:
Мольная доля этана: 0,4 (40 %)
Мольная доля пропена: 0,2 (20 %)
Мольная доля бутина-1: 0,4 (40 %)