Номер 22, страница 230 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

8.22. Массовая доля водорода в кристаллогидрате хлорида лития $\mathrm{LiCl} · n{\mathrm{Н}}_{2}0$ (n целое) находится между 5,5% и 6,5%. Найдите n.

Дано:

Кристаллогидрат хлорида лития $LiCl \cdot nH_2O$

Массовая доля водорода $ω(H)$

$5,5\% < ω(H) < 6,5\%$

$n$ - целое число

Найти:

$n$ - ?

Решение:

Массовая доля элемента в веществе вычисляется как отношение массы всех атомов этого элемента в формульной единице к относительной молекулярной массе всего вещества.

$ω(Э) = \frac{N \cdot Ar(Э)}{Mr(вещества)}$

где $N$ - число атомов элемента в молекуле, $Ar(Э)$ - относительная атомная масса элемента, $Mr(вещества)$ - относительная молекулярная масса вещества.

1. Найдем относительные атомные массы элементов (округлим до стандартных значений, используемых в школьных задачах):

$Ar(Li) = 7$ а.е.м.

$Ar(Cl) = 35,5$ а.е.м.

$Ar(H) = 1$ а.е.м.

$Ar(O) = 16$ а.е.м.

2. Вычислим относительные молекулярные массы безводного хлорида лития ($LiCl$) и воды ($H_2O$):

$Mr(LiCl) = Ar(Li) + Ar(Cl) = 7 + 35,5 = 42,5$

$Mr(H_2O) = 2 \cdot Ar(H) + Ar(O) = 2 \cdot 1 + 16 = 18$

3. Выразим относительную молекулярную массу кристаллогидрата $LiCl \cdot nH_2O$ через $n$:

$Mr(LiCl \cdot nH_2O) = Mr(LiCl) + n \cdot Mr(H_2O) = 42,5 + 18n$

4. В одной формульной единице кристаллогидрата $LiCl \cdot nH_2O$ содержится $2n$ атомов водорода. Общая масса водорода в формульной единице равна $2n \cdot Ar(H) = 2n \cdot 1 = 2n$.

5. Запишем выражение для массовой доли водорода $ω(H)$ в кристаллогидрате в долях единицы:

$ω(H) = \frac{2n}{42,5 + 18n}$

6. Согласно условию задачи, массовая доля водорода находится в интервале от 5,5% до 6,5%. Переведем проценты в доли, разделив на 100:

$0,055 < ω(H) < 0,065$

Подставим наше выражение для $ω(H)$ в это двойное неравенство:

$0,055 < \frac{2n}{42,5 + 18n} < 0,065$

7. Решим это двойное неравенство относительно $n$. Так как $n$ (число молекул воды) является положительным целым числом, знаменатель $42,5 + 18n$ всегда положителен. Поэтому мы можем умножить все части неравенства на этот знаменатель, не меняя знаков неравенства.

Разобьем на систему из двух неравенств:

а) $0,055 < \frac{2n}{42,5 + 18n}$

$0,055 \cdot (42,5 + 18n) < 2n$

$2,3375 + 0,99n < 2n$

$2,3375 < 2n - 0,99n$

$2,3375 < 1,01n$

$n > \frac{2,3375}{1,01}$

$n > 2,314...$

б) $\frac{2n}{42,5 + 18n} < 0,065$

$2n < 0,065 \cdot (42,5 + 18n)$

$2n < 2,7625 + 1,17n$

$2n - 1,17n < 2,7625$

$0,83n < 2,7625$

$n < \frac{2,7625}{0,83}$

$n < 3,328...$

8. Объединим полученные результаты в одно двойное неравенство:

$2,314... < n < 3,328...$

Поскольку по условию $n$ — целое число, единственное целое число, удовлетворяющее этому неравенству, — это 3.

Ответ: $n = 3$.