Номер 300, страница 339 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

11.300. Для необратимой реакции первого порядка А ⟶ Р выберите любую степень превращения вещества А (обозначьте её переменной х или выберите число, какое хотите) и определите, как зависит время t_x, за которое будет достигнут эта степень превращения, от температуры. Предложите координаты, в которых эта зависимость будет линейной, и постройте соответствующий график. Чему равен тангенс угла наклона прямой?

Дано:

Необратимая реакция первого порядка: $A \longrightarrow P$.

Степень превращения вещества A: $x$ (произвольное постоянное значение, $0 < x < 1$).

Время достижения степени превращения $x$: $t_x$.

Температура реакции: $T$.

Найти:

1. Зависимость времени $t_x$ от температуры $T$.

2. Координаты, в которых эта зависимость линейна.

3. Построить график и определить тангенс угла наклона прямой.

Решение:

1. Определение зависимости времени $t_x$ от температуры $T$.

Для реакции первого порядка кинетическое уравнение в интегральной форме имеет вид:

$\ln\frac{C_0}{C} = kt$

где $C_0$ — начальная концентрация вещества A, $C$ — концентрация вещества A в момент времени $t$, $k$ — константа скорости реакции.

Степень превращения $x$ определяется как доля прореагировавшего вещества:

$x = \frac{C_0 - C}{C_0} = 1 - \frac{C}{C_0}$

Отсюда можно выразить отношение концентраций:

$\frac{C}{C_0} = 1 - x \implies \frac{C_0}{C} = \frac{1}{1-x}$

Подставим это выражение в кинетическое уравнение для времени $t_x$, за которое достигается степень превращения $x$:

$\ln\left(\frac{1}{1-x}\right) = k \cdot t_x$

Выразим время $t_x$:

$t_x = \frac{1}{k} \ln\left(\frac{1}{1-x}\right)$

Зависимость константы скорости $k$ от температуры $T$ описывается уравнением Аррениуса:

$k = A \cdot e^{-E_a / (RT)}$

где $A$ — предэкспоненциальный множитель, $E_a$ — энергия активации, $R$ — универсальная газовая постоянная.

Теперь подставим выражение для $k$ в формулу для $t_x$:

$t_x = \frac{1}{A \cdot e^{-E_a / (RT)}} \ln\left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{\ln(1/(1-x))}{A} \cdot e^{E_a / (RT)}$

Это и есть искомая зависимость времени достижения заданной степени превращения от температуры. Видно, что зависимость экспоненциальная: с понижением температуры время $t_x$ экспоненциально возрастает.

Ответ: Зависимость времени $t_x$, необходимого для достижения степени превращения $x$, от температуры $T$ описывается уравнением $t_x = \frac{\ln(1/(1-x))}{A} \cdot e^{E_a / (RT)}$, где $A$ – предэкспоненциальный множитель, $E_a$ – энергия активации, $R$ – универсальная газовая постоянная.

2. Определение координат, в которых зависимость будет линейной.

Чтобы линеаризовать полученную экспоненциальную зависимость, прологарифмируем обе части уравнения:

$\ln(t_x) = \ln\left(\frac{\ln(1/(1-x))}{A} \cdot e^{E_a / (RT)}\right)$

Используя свойства логарифмов ($\ln(ab) = \ln a + \ln b$ и $\ln(e^z) = z$), получаем:

$\ln(t_x) = \ln\left(\frac{\ln(1/(1-x))}{A}\right) + \frac{E_a}{RT}$

Перепишем это уравнение в виде уравнения прямой $y = mx + c$:

$\underbrace{\ln(t_x)}_{y} = \underbrace{\left(\frac{E_a}{R}\right)}_{m} \cdot \underbrace{\left(\frac{1}{T}\right)}_{\text{координата по оси абсцисс}} + \underbrace{\ln\left(\frac{\ln(1/(1-x))}{A}\right)}_{c}$

Из этого уравнения видно, что зависимость будет линейной в координатах $\ln(t_x)$ от $1/T$.

Ответ: Зависимость будет линейной в координатах $\ln(t_x)$ (ось ординат) от $1/T$ (ось абсцисс).

3. Построение графика и определение тангенса угла наклона.

График зависимости $\ln(t_x)$ от $1/T$ представляет собой прямую линию. Так как энергия активации $E_a$ и газовая постоянная $R$ являются положительными величинами, угловой коэффициент (тангенс угла наклона) $m = E_a/R$ будет положительным. Это означает, что прямая будет возрастающей. При $1/T \to 0$ (бесконечно высокая температура), $\ln(t_x)$ стремится к своему минимальному значению $c = \ln\left(\frac{\ln(1/(1-x))}{A}\right)$, которое является точкой пересечения с осью ординат.

Схематический график:

Тангенс угла наклона прямой $(\tan \alpha)$ равен угловому коэффициенту $m$ в уравнении прямой $y = mx + c$.

Из линеаризованного уравнения $\ln(t_x) = \frac{E_a}{R} \frac{1}{T} + c$, мы видим, что угловой коэффициент равен:

$m = \tan \alpha = \frac{\Delta(\ln t_x)}{\Delta(1/T)} = \frac{E_a}{R}$

Ответ: График зависимости $\ln(t_x)$ от $1/T$ является прямой линией с положительным наклоном. Тангенс угла наклона этой прямой равен $E_a/R$, где $E_a$ – энергия активации реакции, а $R$ – универсальная газовая постоянная.