Номер 294, страница 338 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

11.294. Энергия активации некоторой реакции в 2,5 раза больше, чем энергия активации другой реакции. При нагревании от $T_1$ до $T_2$ константа скорости первой реакции увеличилась в a раз. Во сколько раз увеличилась константа скорости второй реакции при нагревании от $T_1$ до $T_2?$

Дано:
Обозначим энергию активации первой реакции как $E_{a1}$, а второй реакции как $E_{a2}$.
Обозначим константы скорости первой реакции при температурах $T_1$ и $T_2$ как $k_{1}(T_1)$ и $k_{1}(T_2)$ соответственно.
Обозначим константы скорости второй реакции при температурах $T_1$ и $T_2$ как $k_{2}(T_1)$ и $k_{2}(T_2)$ соответственно.
$E_{a1} = 2.5 \cdot E_{a2}$
$\frac{k_{1}(T_2)}{k_{1}(T_1)} = \alpha$

Найти:
$\frac{k_{2}(T_2)}{k_{2}(T_1)}$

Решение:
Зависимость константы скорости реакции от температуры описывается уравнением Аррениуса. Для двух температур $T_1$ и $T_2$ соотношение констант скорости можно записать в виде: $$ \ln\left(\frac{k(T_2)}{k(T_1)}\right) = \frac{E_a}{R} \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right) $$ где $k(T_1)$ и $k(T_2)$ - константы скорости при температурах $T_1$ и $T_2$, $E_a$ - энергия активации, $R$ - универсальная газовая постоянная.

Запишем это соотношение для первой реакции: $$ \ln\left(\frac{k_1(T_2)}{k_1(T_1)}\right) = \frac{E_{a1}}{R} \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right) $$ По условию, $\frac{k_1(T_2)}{k_1(T_1)} = \alpha$, следовательно: $$ \ln(\alpha) = \frac{E_{a1}}{R} \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right) \quad (1) $$

Теперь запишем то же соотношение для второй реакции. Обозначим искомое отношение констант как $x = \frac{k_2(T_2)}{k_2(T_1)}$: $$ \ln(x) = \frac{E_{a2}}{R} \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right) \quad (2) $$

Разделим уравнение (2) на уравнение (1): $$ \frac{\ln(x)}{\ln(\alpha)} = \frac{\frac{E_{a2}}{R} \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right)}{\frac{E_{a1}}{R} \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right)} $$ Сокращая одинаковые множители, получаем: $$ \frac{\ln(x)}{\ln(\alpha)} = \frac{E_{a2}}{E_{a1}} $$

Из условия задачи известно, что $E_{a1} = 2.5 \cdot E_{a2}$. Подставим это в полученное выражение: $$ \frac{\ln(x)}{\ln(\alpha)} = \frac{E_{a2}}{2.5 \cdot E_{a2}} = \frac{1}{2.5} = 0.4 $$

Выразим $\ln(x)$: $$ \ln(x) = 0.4 \cdot \ln(\alpha) $$ Используя свойство логарифма $b \cdot \ln(a) = \ln(a^b)$, получим: $$ \ln(x) = \ln(\alpha^{0.4}) $$ Отсюда следует, что: $$ x = \alpha^{0.4} $$ Таким образом, константа скорости второй реакции увеличилась в $\alpha^{0.4}$ раз.

Ответ: константа скорости второй реакции увеличилась в $\alpha^{0.4}$ (или $\alpha^{2/5}$) раз.