Номер 292, страница 338 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

11.292. Реакция первого порядка при температуре 25 °C завершается на 30% за 30 мин. При какой температуре реакция завершится на 60% за 40 мин, если энергия активации равна 30 кДж/моль?

Дано:

Реакция первого порядка.

Состояние 1:

Температура $T_1 = 25°C$

Степень превращения $x_1 = 30\% = 0.3$

Время реакции $t_1 = 30 \text{ мин}$

Состояние 2:

Степень превращения $x_2 = 60\% = 0.6$

Время реакции $t_2 = 40 \text{ мин}$

Энергия активации $E_a = 30 \text{ кДж/моль}$

Универсальная газовая постоянная $R = 8.314 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}$

Перевод в систему СИ:

$T_1 = 25 + 273.15 = 298.15 \text{ К}$

$E_a = 30 \text{ кДж/моль} = 30 \times 10^3 \text{ Дж/моль} = 30000 \text{ Дж/моль}$

$t_1 = 30 \text{ мин} = 1800 \text{ с}$

$t_2 = 40 \text{ мин} = 2400 \text{ с}$

Найти:

$T_2$ — температуру, при которой реакция завершится на 60% за 40 мин.

Решение:

1. Для реакции первого порядка зависимость концентрации от времени описывается кинетическим уравнением в интегральной форме. Выразим его через степень превращения $x$:

$k = \frac{1}{t} \ln{\frac{1}{1-x}}$

где $k$ — константа скорости реакции, $t$ — время реакции, $x$ — степень превращения вещества.

2. Рассчитаем константу скорости $k_1$ при температуре $T_1 = 25°C$. Для удобства вычислений можно оставить время в минутах, так как при нахождении отношения констант единицы измерения времени сократятся.

$k_1 = \frac{1}{t_1} \ln{\frac{1}{1-x_1}} = \frac{1}{30} \ln{\frac{1}{1-0.3}} = \frac{1}{30} \ln{\frac{1}{0.7}} \approx \frac{0.35667}{30} \approx 0.01189 \text{ мин}^{-1}$

3. Аналогично рассчитаем константу скорости $k_2$ для второго состояния, при искомой температуре $T_2$.

$k_2 = \frac{1}{t_2} \ln{\frac{1}{1-x_2}} = \frac{1}{40} \ln{\frac{1}{1-0.6}} = \frac{1}{40} \ln{\frac{1}{0.4}} = \frac{1}{40} \ln{2.5} \approx \frac{0.91629}{40} \approx 0.02291 \text{ мин}^{-1}$

4. Связь между константами скорости реакции при разных температурах устанавливается уравнением Аррениуса, записанным для двух состояний:

$\ln{\frac{k_2}{k_1}} = \frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)$

Подставим в уравнение известные и рассчитанные значения:

$\ln{\frac{0.02291}{0.01189}} = \frac{30000 \text{ Дж/моль}}{8.314 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}} \left( \frac{1}{298.15 \text{ К}} - \frac{1}{T_2} \right)$

$\ln(1.9268) \approx 3608.25 \left( \frac{1}{298.15} - \frac{1}{T_2} \right)$

$0.6559 \approx 3608.25 (0.003354 - \frac{1}{T_2})$

5. Выразим и найдем неизвестную температуру $T_2$:

$\frac{0.6559}{3608.25} \approx 0.003354 - \frac{1}{T_2}$

$0.0001818 \approx 0.003354 - \frac{1}{T_2}$

$\frac{1}{T_2} \approx 0.003354 - 0.0001818 = 0.0031722$

$T_2 \approx \frac{1}{0.0031722} \approx 315.23 \text{ К}$

6. Переведем температуру из шкалы Кельвина в шкалу Цельсия:

$T_2(^\circ\text{C}) = T_2(\text{К}) - 273.15 = 315.23 - 273.15 = 42.08°C$

Ответ:

Реакция завершится на 60% за 40 минут при температуре приблизительно $42.1°C$.