Номер 285, страница 337 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

11.285. В некоторой реакции целого порядка $n\mathbf{A} ⟶ \mathrm{Р}$ концентрация исходного вещества 0,05 моль/л была достигнута за 2 мин при начальной концентрации 0,1 моль/л и за 3 мин при начальной концентрации 0,2 моль/л. Установите порядок реакции.

Дано:

Для реакции $nA \longrightarrow P$ известны следующие данные для двух экспериментов:

Эксперимент 1:
Начальная концентрация $C_{A0,1} = 0,1$ моль/л
Конечная концентрация $C_{A,1} = 0,05$ моль/л
Время реакции $t_1 = 2$ мин

Эксперимент 2:
Начальная концентрация $C_{A0,2} = 0,2$ моль/л
Конечная концентрация $C_{A,2} = 0,05$ моль/л
Время реакции $t_2 = 3$ мин

Все единицы измерения являются согласованными, поэтому перевод в систему СИ не требуется для определения порядка реакции.

Найти:

Порядок реакции $n$.

Решение:

Кинетическое уравнение для реакции $n$-го порядка (при $n \ne 1$) в интегральной форме имеет вид:

$\frac{1}{C_A^{n-1}} - \frac{1}{C_{A0}^{n-1}} = (n-1)kt$

где $C_{A0}$ — начальная концентрация вещества А, $C_A$ — концентрация вещества А в момент времени $t$, $k$ — константа скорости реакции, а $n$ — порядок реакции.

Поскольку константа скорости $k$ не зависит от концентрации, она должна быть одинаковой для обоих экспериментов при одинаковых условиях (кроме концентраций реагентов).

Запишем уравнения для двух экспериментов:

Для первого эксперимента:
$\frac{1}{0,05^{n-1}} - \frac{1}{0,1^{n-1}} = (n-1)k \cdot 2$ (1)

Для второго эксперимента:
$\frac{1}{0,05^{n-1}} - \frac{1}{0,2^{n-1}} = (n-1)k \cdot 3$ (2)

Чтобы исключить неизвестную величину $(n-1)k$, разделим уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{\frac{1}{0,05^{n-1}} - \frac{1}{0,1^{n-1}}}{\frac{1}{0,05^{n-1}} - \frac{1}{0,2^{n-1}}} = \frac{2}{3}$

Вынесем за скобки общий множитель $\frac{1}{0,05^{n-1}}$ в числителе и знаменателе левой части уравнения:

$\frac{\frac{1}{0,05^{n-1}} \left(1 - \frac{0,05^{n-1}}{0,1^{n-1}}\right)}{\frac{1}{0,05^{n-1}} \left(1 - \frac{0,05^{n-1}}{0,2^{n-1}}\right)} = \frac{2}{3}$

Сократим общий множитель и преобразуем дроби в скобках:

$\frac{1 - (\frac{0,05}{0,1})^{n-1}}{1 - (\frac{0,05}{0,2})^{n-1}} = \frac{2}{3}$

$\frac{1 - (\frac{1}{2})^{n-1}}{1 - (\frac{1}{4})^{n-1}} = \frac{2}{3}$

Сделаем замену, пусть $y = (\frac{1}{2})^{n-1}$. Тогда $(\frac{1}{4})^{n-1} = ((\frac{1}{2})^2)^{n-1} = ((\frac{1}{2})^{n-1})^2 = y^2$. Уравнение примет вид:

$\frac{1 - y}{1 - y^2} = \frac{2}{3}$

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов $1 - y^2 = (1-y)(1+y)$:

$\frac{1 - y}{(1-y)(1+y)} = \frac{2}{3}$

Так как мы рассматриваем случай $n \ne 1$, то $n-1 \ne 0$ и $y \ne 1$. Следовательно, можно сократить на $(1-y)$:

$\frac{1}{1+y} = \frac{2}{3}$

Отсюда находим $y$:

$3 = 2(1+y)$
$3 = 2 + 2y$
$2y = 1$
$y = \frac{1}{2}$

Теперь вернемся к исходной переменной $n$, подставив найденное значение $y$ в замену $y = (\frac{1}{2})^{n-1}$:

$\frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

$(\frac{1}{2})^1 = (\frac{1}{2})^{n-1}$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$1 = n-1$

$n = 2$

Таким образом, порядок реакции равен 2.

Проверим, не является ли реакция первого порядка ($n=1$), который мы исключили в начале решения. Для реакции первого порядка кинетическое уравнение имеет вид $\ln{\frac{C_{A0}}{C_A}} = kt$.

Из эксперимента 1: $k_1 = \frac{1}{2}\ln{\frac{0,1}{0,05}} = \frac{\ln{2}}{2} \approx 0,347$ мин$^{-1}$.

Из эксперимента 2: $k_2 = \frac{1}{3}\ln{\frac{0,2}{0,05}} = \frac{\ln{4}}{3} = \frac{2\ln{2}}{3} \approx 0,462$ мин$^{-1}$.

Так как $k_1 \ne k_2$, предположение о первом порядке реакции неверно. Следовательно, найденный порядок $n=2$ является правильным.

Ответ: Порядок реакции равен 2.