Номер 287, страница 337 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

11.287. Изомеризация органического вещества Z протекает как реакция первого порядка. Период полупревращения (полураспада) Z при температуре 70 °C равен 5 мин. При какой температуре период полупревращения в этой реакции будет равен 70 мин, если энергия активации реакции составляет 70 кДж/моль?

Дано:

Тип реакции: первого порядка
Температура 1 ($T_1$): $70^\circ\text{C}$
Период полупревращения 1 ($t_{1/2, 1}$): $5$ мин
Период полупревращения 2 ($t_{1/2, 2}$): $70$ мин
Энергия активации ($E_a$): $70$ кДж/моль
Универсальная газовая постоянная ($R$): $8.314$ Дж/(моль·К)

Перевод в СИ:

$T_1 = 70 + 273.15 = 343.15$ К
$E_a = 70 \times 10^3$ Дж/моль

Найти:

Температуру 2 ($T_2$), при которой период полупревращения равен 70 мин.

Решение:

Для реакции первого порядка период полупревращения ($t_{1/2}$) связан с константой скорости реакции ($k$) следующим соотношением:

$t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k}$

Отсюда можно выразить константу скорости:

$k = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}}$

Зависимость константы скорости реакции от температуры описывается уравнением Аррениуса в интегральной форме для двух температур:

$\ln\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right)$

где $k_1$ и $k_2$ — константы скорости при температурах $T_1$ и $T_2$ соответственно.

Подставим выражение для константы скорости через период полупревращения в уравнение Аррениуса:

$\frac{k_2}{k_1} = \frac{\ln(2)/t_{1/2, 2}}{\ln(2)/t_{1/2, 1}} = \frac{t_{1/2, 1}}{t_{1/2, 2}}$

Получаем уравнение, связывающее периоды полупревращения и температуры:

$\ln\left(\frac{t_{1/2, 1}}{t_{1/2, 2}}\right) = \frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right)$

Подставим известные значения в уравнение. Единицы измерения для периодов полупревращения (минуты) сократятся, поэтому их можно не переводить в секунды.

$\ln\left(\frac{5}{70}\right) = \frac{70000 \text{ Дж/моль}}{8.314 \text{ Дж/(моль·К)}}\left(\frac{1}{343.15 \text{ К}} - \frac{1}{T_2}\right)$

$\ln\left(\frac{1}{14}\right) = 8419.53 \text{ К} \cdot \left(\frac{1}{343.15 \text{ К}} - \frac{1}{T_2}\right)$

$-2.639 = 8419.53 \left(0.002914 - \frac{1}{T_2}\right)$

Разделим обе части на $8419.53$:

$\frac{-2.639}{8419.53} = 0.002914 - \frac{1}{T_2}$

$-0.0003134 = 0.002914 - \frac{1}{T_2}$

Выразим $\frac{1}{T_2}$:

$\frac{1}{T_2} = 0.002914 + 0.0003134 = 0.0032274 \text{ К}^{-1}$

Теперь найдем $T_2$:

$T_2 = \frac{1}{0.0032274} \approx 309.84$ К

Переведем температуру из Кельвинов в градусы Цельсия:

$T_2(^\circ\text{C}) = 309.84 - 273.15 = 36.69^\circ\text{C}$

Округляя, получаем $T_2 \approx 37^\circ\text{C}$.

Ответ: при температуре примерно $37^\circ\text{C}$ период полупревращения будет равен 70 мин.