Номер 288, страница 337 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

11.288. В реакции первого порядка, протекающей с энергией активации 70 кДж/моль, период полупревращения реагента при 298 К равен 20 мин. При какой температуре он станет в 6 раз больше?

Дано:

Реакция первого порядка

$E_a = 70 \text{ кДж/моль} = 70000 \text{ Дж/моль}$

$T_1 = 298 \text{ К}$

$\tau_{1/2, 1} = 20 \text{ мин}$

$\frac{\tau_{1/2, 2}}{\tau_{1/2, 1}} = 6$

$R = 8.314 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}$

Найти:

$T_2$ - ?

Решение:

Для реакции первого порядка период полупревращения $\tau_{1/2}$ связан с константой скорости реакции $k$ соотношением:

$\tau_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}$

Из этого следует, что период полупревращения обратно пропорционален константе скорости: $\tau_{1/2} \propto \frac{1}{k}$.

По условию задачи, новый период полупревращения $\tau_{1/2, 2}$ при температуре $T_2$ в 6 раз больше исходного $\tau_{1/2, 1}$ при температуре $T_1$:

$\frac{\tau_{1/2, 2}}{\tau_{1/2, 1}} = 6$

Следовательно, отношение констант скорости будет обратным:

$\frac{k_1}{k_2} = \frac{\tau_{1/2, 2}}{\tau_{1/2, 1}} = 6$

Зависимость константы скорости реакции от температуры описывается уравнением Аррениуса в интегральной форме для двух температур:

$\ln\left(\frac{k_1}{k_2}\right) = \frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}\right)$

Подставим в это уравнение известное отношение констант $\frac{k_1}{k_2} = 6$:

$\ln(6) = \frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}\right)$

Выразим из этого уравнения $\frac{1}{T_2}$:

$\frac{R \ln(6)}{E_a} = \frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}$

$\frac{1}{T_2} = \frac{1}{T_1} + \frac{R \ln(6)}{E_a}$

Подставим известные численные значения:

$\frac{1}{T_2} = \frac{1}{298 \text{ К}} + \frac{8.314 \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}} \cdot \ln(6)}{70000 \frac{\text{Дж}}{\text{моль}}}$

Используя значение $\ln(6) \approx 1.7918$, произведем расчеты:

$\frac{1}{T_2} \approx \frac{1}{298} + \frac{8.314 \cdot 1.7918}{70000}$

$\frac{1}{T_2} \approx 0.0033557 + \frac{14.899}{70000}$

$\frac{1}{T_2} \approx 0.0033557 + 0.0002128$

$\frac{1}{T_2} \approx 0.0035685 \text{ К}^{-1}$

Теперь найдем температуру $T_2$:

$T_2 \approx \frac{1}{0.0035685} \approx 280.2 \text{ К}$

Увеличение периода полупревращения в 6 раз означает, что скорость реакции уменьшилась. Уменьшение скорости реакции происходит при понижении температуры, поэтому полученный результат $T_2 \approx 280.2 \text{ К}$, который ниже исходной температуры $T_1 = 298 \text{ К}$, является логичным.

Ответ: температура, при которой период полупревращения станет в 6 раз больше, равна приблизительно $280.2 \text{ К}$.