Номер 290, страница 337 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

11.290. В диапазоне температур от 20 до 70 °C средний температурный коэффициент скорости равен 2,8. Рассчитайте энергию активации реакции.

Дано:

Начальная температура $t_1 = 20$ °C
Конечная температура $t_2 = 70$ °C
Средний температурный коэффициент $\gamma = 2.8$
Универсальная газовая постоянная $R = 8.314$ Дж/(моль·К)

Перевод температур в систему СИ (Кельвины):
$T_1 = t_1 + 273.15 = 20 + 273.15 = 293.15$ К
$T_2 = t_2 + 273.15 = 70 + 273.15 = 343.15$ К

Найти:

Энергию активации $E_a$.

Решение:

Для нахождения энергии активации можно связать эмпирическое правило Вант-Гоффа с теоретическим уравнением Аррениуса.

Правило Вант-Гоффа устанавливает зависимость скорости реакции от температуры: $$ \frac{v_2}{v_1} = \gamma^{\frac{t_2 - t_1}{10}} $$ где $v_1$ и $v_2$ — скорости реакции при температурах $t_1$ и $t_2$ соответственно, а $\gamma$ — температурный коэффициент скорости реакции.

Уравнение Аррениуса в интегральной форме для двух температур выглядит так: $$ \ln\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{E_a}{R} \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right) $$ где $k_1$ и $k_2$ — константы скорости при абсолютных температурах $T_1$ и $T_2$, $E_a$ — энергия активации, $R$ — универсальная газовая постоянная.

При условии, что концентрации реагентов не меняются, отношение скоростей реакции равно отношению констант скоростей: $\frac{v_2}{v_1} = \frac{k_2}{k_1}$.

Прологарифмируем уравнение Вант-Гоффа, учитывая, что разность температур в Кельвинах и градусах Цельсия одинакова ($T_2 - T_1 = t_2 - t_1$): $$ \ln\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \ln\left(\gamma^{\frac{T_2 - T_1}{10}}\right) = \frac{T_2 - T_1}{10} \ln(\gamma) $$

Теперь приравняем правые части уравнений Аррениуса и прологарифмированного Вант-Гоффа: $$ \frac{E_a}{R} \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right) = \frac{T_2 - T_1}{10} \ln(\gamma) $$

Преобразуем левую часть уравнения: $$ \frac{E_a}{R} \left(\frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2}\right) = \frac{T_2 - T_1}{10} \ln(\gamma) $$

Сократим обе части на $(T_2 - T_1)$ и выразим энергию активации $E_a$: $$ \frac{E_a}{R \cdot T_1 T_2} = \frac{\ln(\gamma)}{10} $$ $$ E_a = \frac{R \cdot T_1 T_2 \cdot \ln(\gamma)}{10} $$

Подставим числовые значения в полученную формулу: $$ E_a = \frac{8.314 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 293.15 \text{ К} \cdot 343.15 \text{ К} \cdot \ln(2.8)}{10 \text{ К}} $$ $$ \ln(2.8) \approx 1.0296 $$ $$ E_a = \frac{8.314 \cdot 293.15 \cdot 343.15 \cdot 1.0296}{10} \approx \frac{836178.6 \cdot 1.0296}{10} \approx 86095 \text{ Дж/моль} $$

Переведем полученное значение в килоджоули на моль: $$ E_a \approx 86.1 \text{ кДж/моль} $$

Ответ: энергия активации реакции составляет примерно $86.1$ кДж/моль.