Номер 293, страница 338 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

11.293. В реакции первого порядка при температуре 25 °C за 30 мин реагирует 30% вещества. Рассчитайте константу скорости и время полупревращения вещества. При какой температуре за 90 мин прореагирует 90% вещества, если энергия активации равна 50 кДж/моль?

Дано:

Порядок реакции: 1
Температура $T_1 = 25$ °C
Время $t_1 = 30$ мин
Доля прореагировавшего вещества при $T_1$ за $t_1$ ($x_1$) = 30% = 0.3
Время $t_2 = 90$ мин
Доля прореагировавшего вещества при $T_2$ за $t_2$ ($x_2$) = 90% = 0.9
Энергия активации $E_a = 50$ кДж/моль
Универсальная газовая постоянная $R \approx 8.314$ Дж/(моль·К)

Перевод данных в систему СИ:

$T_1 = 25 + 273.15 = 298.15$ К
$t_1 = 30 \text{ мин} = 1800$ с
$t_2 = 90 \text{ мин} = 5400$ с
$E_a = 50 \text{ кДж/моль} = 50000$ Дж/моль

Найти:

1. Константу скорости $k_1$ при $T_1$
2. Время полупревращения $t_{1/2}$ при $T_1$
3. Температуру $T_2$

Решение:

Расчет константы скорости и времени полупревращения вещества

Для реакции первого порядка кинетическое уравнение в интегральной форме имеет вид: $$k = \frac{1}{t} \ln{\frac{C_0}{C_t}}$$ где $k$ – константа скорости, $t$ – время, $C_0$ – начальная концентрация вещества, $C_t$ – концентрация вещества в момент времени $t$.

По условию, при температуре $T_1 = 25$ °C за время $t_1 = 30$ мин прореагировало 30% вещества. Это означает, что осталось $100\% - 30\% = 70\%$ от начального количества. Таким образом, отношение $\frac{C_0}{C_t} = \frac{100}{70} = \frac{1}{0.7}$.

Рассчитаем константу скорости $k_1$. Для удобства расчетов будем использовать время в минутах. $$k_1 = \frac{1}{30 \text{ мин}} \ln{\frac{1}{0.7}} \approx \frac{1}{30} \times 0.35667 \approx 0.01189 \text{ мин}^{-1}$$

Время полупревращения $t_{1/2}$ для реакции первого порядка связано с константой скорости соотношением: $$t_{1/2} = \frac{\ln{2}}{k}$$ Рассчитаем время полупревращения при $T_1$, используя найденное значение $k_1$: $$t_{1/2}(T_1) = \frac{\ln{2}}{k_1} = \frac{0.69315}{0.01189 \text{ мин}^{-1}} \approx 58.3 \text{ мин}$$

Ответ: Константа скорости при 25 °C равна $0.01189 \text{ мин}^{-1}$ (или $1.98 \times 10^{-4} \text{ с}^{-1}$), а время полупревращения составляет 58.3 мин.

Расчет температуры, при которой за 90 мин прореагирует 90% вещества

Сначала найдем константу скорости $k_2$, соответствующую новым условиям: $t_2 = 90$ мин, прореагировало 90% вещества.

Если прореагировало 90% вещества, то осталось $100\% - 90\% = 10\%$. Тогда отношение $\frac{C_0}{C_t} = \frac{100}{10} = 10$. $$k_2 = \frac{1}{t_2} \ln{\frac{C_0}{C_t}} = \frac{1}{90 \text{ мин}} \ln{10} \approx \frac{2.30259}{90} \approx 0.02558 \text{ мин}^{-1}$$

Теперь, зная константы скорости при двух разных температурах ($k_1$ при $T_1$ и $k_2$ при $T_2$), мы можем использовать уравнение Аррениуса в интегральной форме для нахождения $T_2$: $$\ln{\frac{k_2}{k_1}} = \frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)$$ Подставим известные значения (единицы измерения для констант скорости сокращаются, поэтому можно использовать мин⁻¹): $$\ln{\frac{0.02558}{0.01189}} = \frac{50000 \text{ Дж/моль}}{8.314 \text{ Дж/(моль·К)}} \left( \frac{1}{298.15 \text{ К}} - \frac{1}{T_2} \right)$$ $$\ln(2.1514) \approx 6014.9 \left( \frac{1}{298.15} - \frac{1}{T_2} \right)$$ $$0.7663 \approx 6014.9 \left( 0.0033540 - \frac{1}{T_2} \right)$$ Разделим обе части на 6014.9: $$\frac{0.7663}{6014.9} \approx 0.0001274 = 0.0033540 - \frac{1}{T_2}$$ Выразим $\frac{1}{T_2}$: $$\frac{1}{T_2} = 0.0033540 - 0.0001274 = 0.0032266$$ Отсюда находим $T_2$: $$T_2 = \frac{1}{0.0032266} \approx 309.91 \text{ К}$$ Переведем температуру в градусы Цельсия: $$T_2(°C) = 309.91 - 273.15 = 36.76 \text{ °C}$$

Ответ: 90% вещества прореагирует за 90 минут при температуре примерно 36.8 °C.