Номер 286, страница 337 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

11.286. В реакции разложения время полупревращения вещества составляет 2,8 мин при температуре 80 °C и 1,4 мин при температуре 95 °C. Чему равна энергия активации?

Дано:

$t_{1/2,1} = 2.8 \text{ мин}$
$T_1 = 80 \text{ °C} = 80 + 273.15 = 353.15 \text{ К}$
$t_{1/2,2} = 1.4 \text{ мин}$
$T_2 = 95 \text{ °C} = 95 + 273.15 = 368.15 \text{ К}$
$R = 8.314 \text{ Дж/(моль·К)}$

Найти:

$E_a$ - энергия активации

Решение:

Для определения энергии активации воспользуемся уравнением Аррениуса в интегральной форме для двух температур:

$\ln\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = \frac{E_a}{R} \left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right)$

где $k_1$ и $k_2$ – константы скорости реакции при температурах $T_1$ и $T_2$ соответственно, $E_a$ – энергия активации, $R$ – универсальная газовая постоянная.

Константа скорости реакции $k$ обратно пропорциональна времени полупревращения $t_{1/2}$ (например, для реакции первого порядка $k = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}}$). Это соотношение ($k \propto 1/t_{1/2}$) справедливо для реакции любого порядка при неизменных начальных условиях. Следовательно, отношение констант скорости можно заменить обратным отношением времен полупревращения:

$\frac{k_2}{k_1} = \frac{t_{1/2,1}}{t_{1/2,2}}$

Подставим это соотношение в уравнение Аррениуса:

$\ln\left(\frac{t_{1/2,1}}{t_{1/2,2}}\right) = \frac{E_a}{R} \left(\frac{T_2 - T_1}{T_1 \cdot T_2}\right)$

Выразим из этого уравнения энергию активации $E_a$:

$E_a = R \cdot \ln\left(\frac{t_{1/2,1}}{t_{1/2,2}}\right) \cdot \frac{T_1 \cdot T_2}{T_2 - T_1}$

Подставим числовые значения. Обратите внимание, что для отношения времен полупревращения не обязательно переводить их в секунды, так как единицы измерения сокращаются.

$E_a = 8.314 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot \ln\left(\frac{2.8 \text{ мин}}{1.4 \text{ мин}}\right) \cdot \frac{353.15 \text{ К} \cdot 368.15 \text{ К}}{368.15 \text{ К} - 353.15 \text{ К}}$

$E_a = 8.314 \cdot \ln(2) \cdot \frac{129998.5225}{15}$

Используя значение $\ln(2) \approx 0.6931$, получим:

$E_a \approx 8.314 \cdot 0.6931 \cdot 8666.57 \frac{\text{Дж}}{\text{моль}}$

$E_a \approx 49940 \frac{\text{Дж}}{\text{моль}}$

Переведем результат в килоджоули на моль:

$E_a \approx 49.94 \frac{\text{кДж}}{\text{моль}}$

Ответ: $E_a \approx 49.9 \text{ кДж/моль}$.