Номер 279, страница 336 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

11.279. Вещества С и D распадаются согласно кинетике первого порядка. Период полураспада вещества С равен 66 мин, а вещества D – 22 мин. Начальные концентрации С и D равны. Через какое время концентрация С окажется в 3 раза больше концентрации D?

Дано:

Реакции распада веществ C и D являются реакциями первого порядка.

Период полураспада вещества C: $t_{1/2, C} = 66 \text{ мин}$

Период полураспада вещества D: $t_{1/2, D} = 22 \text{ мин}$

Начальные концентрации равны: $[C]_0 = [D]_0$

В искомый момент времени $t$ должно выполняться условие: $[C]_t = 3 \cdot [D]_t$

Найти:

Время $t$, через которое концентрация вещества C будет в 3 раза больше концентрации вещества D.

Решение:

Кинетическое уравнение для реакции первого порядка, описывающее изменение концентрации вещества со временем, имеет вид:

$[A]_t = [A]_0 \cdot e^{-kt}$

где $[A]_0$ — начальная концентрация вещества, $[A]_t$ — концентрация вещества в момент времени $t$, а $k$ — константа скорости реакции.

Константа скорости реакции первого порядка связана с периодом полураспада $t_{1/2}$ следующим соотношением:

$k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$

Вычислим константы скорости для веществ C и D. Расчеты будем вести в минутах, поэтому константы скорости будут иметь размерность мин⁻¹.

Для вещества C:

$k_C = \frac{\ln 2}{t_{1/2, C}} = \frac{\ln 2}{66} \text{ мин}^{-1}$

Для вещества D:

$k_D = \frac{\ln 2}{t_{1/2, D}} = \frac{\ln 2}{22} \text{ мин}^{-1}$

Теперь запишем выражения для концентраций веществ C и D в момент времени $t$, обозначив их равные начальные концентрации как $C_0$:

$[C]_t = C_0 \cdot e^{-k_C t} = C_0 \cdot e^{-\frac{\ln 2}{66} t}$

$[D]_t = C_0 \cdot e^{-k_D t} = C_0 \cdot e^{-\frac{\ln 2}{22} t}$

Согласно условию задачи, в искомый момент времени $t$ выполняется равенство $[C]_t = 3 \cdot [D]_t$. Подставим в него выражения для концентраций:

$C_0 \cdot e^{-\frac{\ln 2}{66} t} = 3 \cdot C_0 \cdot e^{-\frac{\ln 2}{22} t}$

Сократим начальную концентрацию $C_0$:

$e^{-\frac{\ln 2}{66} t} = 3 \cdot e^{-\frac{\ln 2}{22} t}$

Для решения этого уравнения прологарифмируем обе его части по основанию $e$ (натуральный логарифм):

$\ln(e^{-\frac{\ln 2}{66} t}) = \ln(3 \cdot e^{-\frac{\ln 2}{22} t})$

Используя свойство логарифма произведения $\ln(a \cdot b) = \ln a + \ln b$, получаем:

$-\frac{\ln 2}{66} t = \ln 3 + \ln(e^{-\frac{\ln 2}{22} t})$

$-\frac{\ln 2}{66} t = \ln 3 - \frac{\ln 2}{22} t$

Перенесем члены, содержащие $t$, в левую часть уравнения, а $\ln 3$ оставим в правой:

$\frac{\ln 2}{22} t - \frac{\ln 2}{66} t = \ln 3$

Вынесем общий множитель $t \cdot \ln 2$ за скобки:

$t \cdot \ln 2 \left( \frac{1}{22} - \frac{1}{66} \right) = \ln 3$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 66:

$t \cdot \ln 2 \left( \frac{3}{66} - \frac{1}{66} \right) = \ln 3$

$t \cdot \ln 2 \left( \frac{2}{66} \right) = \ln 3$

$t \cdot \ln 2 \left( \frac{1}{33} \right) = \ln 3$

Выразим время $t$:

$t = \frac{33 \cdot \ln 3}{\ln 2}$

Подставим числовые значения для натуральных логарифмов ($\ln 3 \approx 1.0986$, $\ln 2 \approx 0.6931$):

$t \approx \frac{33 \cdot 1.0986}{0.6931} \approx \frac{36.2538}{0.6931} \approx 52.3067 \text{ мин}$

Округлим результат до одного знака после запятой.

Ответ: $t \approx 52,3 \text{ мин.}$