Номер 275, страница 336 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

11.275. В ферментативном и неферментативном путях некоторого метаболического процесса энергии активации различаются на 24,0 кДж/моль. Во сколько раз скорость ферментативной реакции больше при 300 К? Примите, что предэкспоненциальные множители для обоих путей равны.

Дано:

Разница энергий активации ферментативного и неферментативного путей: $ΔE_a = 24,0$ кДж/моль

Температура: $T = 300$ К

Предеэкспоненциальные множители равны: $A_{ферм} = A_{неферм}$

Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8,314$ Дж/(моль·К)

Перевод в систему СИ:

$ΔE_a = 24,0 \text{ кДж/моль} = 24,0 \cdot 10^3 \text{ Дж/моль} = 24000 \text{ Дж/моль}$

Найти:

Отношение скорости ферментативной реакции к скорости неферментативной реакции: $\frac{v_{ферм}}{v_{неферм}}$

Решение:

Скорость химической реакции описывается уравнением Аррениуса, которое связывает константу скорости реакции $k$ с энергией активации $E_a$ и температурой $T$:

$k = A \cdot e^{-\frac{E_a}{RT}}$

где $A$ — предэкспоненциальный множитель, $R$ — универсальная газовая постоянная.

Скорость реакции $v$ прямо пропорциональна константе скорости $k$ (при прочих равных условиях). Поэтому отношение скоростей будет равно отношению констант скоростей.

Запишем выражения для констант скоростей ферментативной ($k_{ферм}$) и неферментативной ($k_{неферм}$) реакций:

$k_{ферм} = A_{ферм} \cdot e^{-\frac{E_{a,ферм}}{RT}}$

$k_{неферм} = A_{неферм} \cdot e^{-\frac{E_{a,неферм}}{RT}}$

Найдем искомое отношение скоростей:

$\frac{v_{ферм}}{v_{неферм}} = \frac{k_{ферм}}{k_{неферм}} = \frac{A_{ферм} \cdot e^{-\frac{E_{a,ферм}}{RT}}}{A_{неферм} \cdot e^{-\frac{E_{a,неферм}}{RT}}}$

По условию, предэкспоненциальные множители равны ($A_{ферм} = A_{неферм}$), поэтому они сокращаются:

$\frac{v_{ферм}}{v_{неферм}} = \frac{e^{-\frac{E_{a,ферм}}{RT}}}{e^{-\frac{E_{a,неферм}}{RT}}} = e^{-\frac{E_{a,ферм}}{RT} - (-\frac{E_{a,неферм}}{RT})} = e^{\frac{E_{a,неферм} - E_{a,ферм}}{RT}}$

Ферменты являются катализаторами, они снижают энергию активации реакции. Следовательно, энергия активации неферментативной реакции $E_{a,неферм}$ больше энергии активации ферментативной реакции $E_{a,ферм}$. Их разница $E_{a,неферм} - E_{a,ферм}$ и есть данная в условии величина $ΔE_a = 24,0$ кДж/моль.

Таким образом, формула для расчета принимает вид:

$\frac{v_{ферм}}{v_{неферм}} = e^{\frac{ΔE_a}{RT}}$

Подставим числовые значения, переведенные в систему СИ:

$\frac{v_{ферм}}{v_{неферм}} = e^{\frac{24000 \text{ Дж/моль}}{8,314 \text{ Дж/(моль·К)} \cdot 300 \text{ К}}} = e^{\frac{24000}{2494,2}} \approx e^{9,6223}$

Вычислим значение экспоненты:

$e^{9,6223} \approx 15095,7$

С учетом того, что исходные данные ($24,0$ кДж/моль и $300$ К) даны с тремя значащими цифрами, округлим результат до трех значащих цифр.

$\frac{v_{ферм}}{v_{неферм}} \approx 15100 = 1,51 \cdot 10^4$

Ответ: скорость ферментативной реакции больше скорости неферментативной реакции примерно в $1,51 \cdot 10^4$ раз (или в 15100 раз).