Номер 278, страница 336 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

11.278. В газовой фазе некоторое вещество разлагается по реакции первого порядка. За одну минуту распадается 10% вещества при температуре 350 К и 40% при 370 К. Рассчитайте константу скорости и период полу-превращения вещества при 350 К, а также энергию активации.

Дано:

Реакция первого порядка.

$T_1 = 350 \text{ К}$

$x_1 = 10\% = 0.1$ (доля распавшегося вещества при $T_1$)

$t = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

$T_2 = 370 \text{ К}$

$x_2 = 40\% = 0.4$ (доля распавшегося вещества при $T_2$)

Универсальная газовая постоянная $R = 8.314 \text{ Дж/(моль·К)}$

Найти:

1. Константу скорости $k_1$ при $T_1=350 \text{ К}$.

2. Период полупревращения $t_{1/2}$ при $T_1=350 \text{ К}$.

3. Энергию активации $E_a$.

Решение:

1. Расчет константы скорости ($k_1$) и периода полупревращения ($t_{1/2}$) при 350 К

Для реакции первого порядка кинетическое уравнение в интегральной форме имеет вид:

$k = \frac{1}{t} \ln{\frac{C_0}{C}}$

где $C_0$ – начальная концентрация вещества, $C$ – концентрация вещества в момент времени $t$.

При температуре $T_1 = 350 \text{ К}$ за время $t = 60 \text{ с}$ распадается 10% вещества ($x_1=0.1$). Это означает, что концентрация вещества в момент времени $t$ составляет $C_1 = C_0 \cdot (1 - 0.1) = 0.9 \cdot C_0$.

Подставим эти значения в уравнение для расчета константы скорости $k_1$:

$k_1 = \frac{1}{60} \ln{\frac{C_0}{0.9 \cdot C_0}} = \frac{1}{60} \ln{\frac{1}{0.9}} \approx \frac{0.10536}{60} \approx 0.001756 \text{ с}^{-1}$

Период полупревращения для реакции первого порядка связан с константой скорости соотношением:

$t_{1/2} = \frac{\ln{2}}{k}$

Рассчитаем период полупревращения при $T_1 = 350 \text{ К}$:

$t_{1/2}(350 \text{ К}) = \frac{\ln{2}}{k_1} \approx \frac{0.6931}{0.001756} \approx 394.7 \text{ с}$

Ответ: Константа скорости при 350 К равна $0.001756 \text{ с}^{-1}$, период полупревращения составляет $394.7 \text{ с}$ (примерно 6.6 минут).

2. Расчет энергии активации ($E_a$)

Для расчета энергии активации необходимо знать константы скорости при двух разных температурах. Мы уже нашли $k_1$ при $T_1=350 \text{ К}$. Теперь найдем константу скорости $k_2$ при $T_2 = 370 \text{ К}$.

При $T_2 = 370 \text{ К}$ за $t = 60 \text{ с}$ распадается 40% вещества ($x_2=0.4$). Концентрация вещества в этот момент времени: $C_2 = C_0 \cdot (1 - 0.4) = 0.6 \cdot C_0$.

Рассчитаем константу скорости $k_2$:

$k_2 = \frac{1}{60} \ln{\frac{C_0}{0.6 \cdot C_0}} = \frac{1}{60} \ln{\frac{1}{0.6}} \approx \frac{0.5108}{60} \approx 0.008514 \text{ с}^{-1}$

Энергию активации находим, используя уравнение Аррениуса в интегральной форме:

$\ln{\frac{k_2}{k_1}} = \frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right) = \frac{E_a}{R} \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2}$

Выразим отсюда энергию активации $E_a$:

$E_a = R \cdot \ln{\frac{k_2}{k_1}} \cdot \frac{T_1 T_2}{T_2 - T_1}$

Подставим известные значения:

$E_a = 8.314 \frac{\text{Дж}}{\text{моль·К}} \cdot \ln{\frac{0.008514}{0.001756}} \cdot \frac{350 \text{ К} \cdot 370 \text{ К}}{370 \text{ К} - 350 \text{ К}}$

$E_a = 8.314 \cdot \ln{4.8485} \cdot \frac{129500}{20}$

$E_a \approx 8.314 \cdot 1.5786 \cdot 6475 \approx 85012 \text{ Дж/моль}$

Переведем в килоджоули на моль:

$E_a \approx 85.0 \text{ кДж/моль}$

Ответ: Энергия активации реакции составляет примерно $85.0 \text{ кДж/моль}$.