Номер 280, страница 336 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

11.280. Вещества Q и R распадаются согласно кинетике первого порядка. Период полураспада вещества Q равен 220 мин, а вещества R – 22 мин. Начальные концентрации Q и R равны. Через какое время концентрация Q окажется в 10 раз больше концентрации R?

Дано:

$T_{1/2, Q} = 220 \text{ мин}$
$T_{1/2, R} = 22 \text{ мин}$
$[Q]_0 = [R]_0$
$\frac{[Q]_t}{[R]_t} = 10$

Найти:

$t$

Решение:

Распад веществ Q и R подчиняется кинетике первого порядка. Уравнение, описывающее изменение концентрации со временем для реакции первого порядка, имеет вид: $$[C]_t = [C]_0 \cdot e^{-kt}$$ где $[C]_t$ — концентрация вещества в момент времени $t$, $[C]_0$ — начальная концентрация, а $k$ — константа скорости реакции.

Константа скорости $k$ связана с периодом полураспада $T_{1/2}$ следующим соотношением: $$k = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}}$$

Запишем кинетические уравнения для распада каждого вещества: $$[Q]_t = [Q]_0 \cdot e^{-k_Q t}$$ $$[R]_t = [R]_0 \cdot e^{-k_R t}$$ где $k_Q$ и $k_R$ — константы скорости распада веществ Q и R.

Вычислим значения этих констант: $$k_Q = \frac{\ln(2)}{T_{1/2, Q}} = \frac{\ln(2)}{220 \text{ мин}}$$ $$k_R = \frac{\ln(2)}{T_{1/2, R}} = \frac{\ln(2)}{22 \text{ мин}}$$

Согласно условию задачи, в искомый момент времени $t$ концентрация вещества Q будет в 10 раз больше концентрации вещества R: $$[Q]_t = 10 \cdot [R]_t$$ Подставим в это равенство выражения для концентраций: $$[Q]_0 \cdot e^{-k_Q t} = 10 \cdot [R]_0 \cdot e^{-k_R t}$$

Поскольку начальные концентрации веществ равны ($[Q]_0 = [R]_0$), мы можем сократить их в уравнении: $$e^{-k_Q t} = 10 \cdot e^{-k_R t}$$

Для того чтобы найти $t$, преобразуем уравнение. Разделим обе части на $e^{-k_R t}$: $$\frac{e^{-k_Q t}}{e^{-k_R t}} = 10$$ Используя свойство степеней, получаем: $$e^{-k_Q t - (-k_R t)} = 10$$ $$e^{(k_R - k_Q)t} = 10$$

Теперь прологарифмируем обе части уравнения по основанию $e$ (натуральный логарифм): $$\ln(e^{(k_R - k_Q)t}) = \ln(10)$$ $$(k_R - k_Q)t = \ln(10)$$ Отсюда выразим время $t$: $$t = \frac{\ln(10)}{k_R - k_Q}$$

Подставим в это выражение формулы для констант скоростей: $$t = \frac{\ln(10)}{\frac{\ln(2)}{22} - \frac{\ln(2)}{220}} = \frac{\ln(10)}{\ln(2) \left(\frac{1}{22} - \frac{1}{220}\right)}$$ Выполним вычитание дробей в знаменателе: $$t = \frac{\ln(10)}{\ln(2) \left(\frac{10}{220} - \frac{1}{220}\right)} = \frac{\ln(10)}{\ln(2) \left(\frac{9}{220}\right)}$$ $$t = \frac{220 \cdot \ln(10)}{9 \cdot \ln(2)}$$

Осталось вычислить численное значение, используя значения $\ln(10) \approx 2.3026$ и $\ln(2) \approx 0.6931$: $$t = \frac{220 \cdot 2.3026}{9 \cdot 0.6931} \approx \frac{506.572}{6.2379} \approx 81.2 \text{ мин}$$

Ответ: через 81.2 мин.