Номер 284, страница 337 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

11.284. В реакции первого порядка за 15 мин прореагировало определённое количество исходного вещества. За последующие 30 мин прореагировало точно такое же количество вещества. Чему равна константа скорости?

Дано:

Найти:

$k$ - константа скорости реакции.

Решение:

Для реакции первого порядка кинетическое уравнение в интегральной форме имеет вид: $ln(\frac{C_0}{C}) = k \cdot t$ где $C_0$ — начальная концентрация (или количество) вещества, $C$ — концентрация (или количество) вещества в момент времени $t$, $k$ — константа скорости.

Пусть $n_0$ — начальное количество вещества. Пусть $x$ — количество вещества, прореагировавшее за первый промежуток времени $t_1 = 900 \text{ с}$. Тогда к моменту времени $t_1$ количество оставшегося вещества будет $n_1 = n_0 - x$.

Подставим эти данные в кинетическое уравнение: $ln(\frac{n_0}{n_0 - x}) = k \cdot t_1 = 900k$ (1)

За последующий промежуток времени $t_2 = 1800 \text{ с}$ прореагировало точно такое же количество вещества $x$. Этот промежуток начинается в момент $t_1$ и заканчивается в момент $t_{\text{общ}} = t_1 + t_2 = 900 + 1800 = 2700 \text{ с}$.

Количество вещества в начале второго промежутка (в момент $t_1$) равно $n_1 = n_0 - x$. Количество вещества в конце второго промежутка (в момент $t_{\text{общ}}$) равно $n_2 = n_1 - x = (n_0 - x) - x = n_0 - 2x$.

Применим кинетическое уравнение для второго промежутка времени длительностью $t_2$: $ln(\frac{n_1}{n_2}) = k \cdot t_2$ $ln(\frac{n_0 - x}{n_0 - 2x}) = k \cdot 1800 = 1800k$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Из них можно найти $k$. Разделим уравнение (2) на уравнение (1): $\frac{ln(\frac{n_0 - x}{n_0 - 2x})}{ln(\frac{n_0}{n_0 - x})} = \frac{1800k}{900k} = 2$

$ln(\frac{n_0 - x}{n_0 - 2x}) = 2 \cdot ln(\frac{n_0}{n_0 - x})$

Используя свойство логарифма $a \cdot ln(b) = ln(b^a)$, получаем: $ln(\frac{n_0 - x}{n_0 - 2x}) = ln((\frac{n_0}{n_0 - x})^2)$

Потенцируя обе части уравнения (избавляясь от логарифмов), получаем: $\frac{n_0 - x}{n_0 - 2x} = (\frac{n_0}{n_0 - x})^2 = \frac{n_0^2}{(n_0 - x)^2}$

Перемножим крест-накрест: $(n_0 - x)^3 = n_0^2(n_0 - 2x)$

Чтобы упростить уравнение, введем переменную $y = \frac{x}{n_0}$, которая представляет собой долю прореагировавшего вещества за первый интервал. Очевидно, что $y$ не может быть равно нулю (реакция идет) и $2y < 1$ (общее количество прореагировавшего вещества не может превышать начальное). Разделим обе части уравнения на $n_0^3$: $(\frac{n_0 - x}{n_0})^3 = \frac{n_0^2(n_0 - 2x)}{n_0^3}$ $(1 - \frac{x}{n_0})^3 = \frac{n_0 - 2x}{n_0}$ $(1 - y)^3 = 1 - 2y$

Раскроем скобки: $1 - 3y + 3y^2 - y^3 = 1 - 2y$

Приведем подобные члены: $y^3 - 3y^2 + y = 0$ $y(y^2 - 3y + 1) = 0$

Одно решение $y=0$ не имеет физического смысла, так как реакция происходит. Решим квадратное уравнение $y^2 - 3y + 1 = 0$ с помощью дискриминанта: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$ $y_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Получаем два корня: $y_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{3 + 2.236}{2} \approx 2.618$ $y_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{3 - 2.236}{2} \approx 0.382$

Поскольку $2y$ (общая доля прореагировавшего вещества) должно быть меньше 1, корень $y_1$ не подходит. Следовательно, физически осмысленным решением является $y_2$. $y = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Теперь вернемся к уравнению (1) для нахождения $k$: $900k = ln(\frac{n_0}{n_0 - x}) = ln(\frac{1}{1 - x/n_0}) = ln(\frac{1}{1-y})$ $1 - y = 1 - \frac{3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{2 - (3 - \sqrt{5})}{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ $900k = ln(\frac{1}{(\sqrt{5} - 1)/2}) = ln(\frac{2}{\sqrt{5} - 1})$

Умножим числитель и знаменатель дроби под логарифмом на сопряженное выражение $(\sqrt{5} + 1)$: $\frac{2}{\sqrt{5} - 1} \cdot \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{2(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{2(\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} = \frac{2(\sqrt{5} + 1)}{4} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

Итак, $900k = ln(\frac{\sqrt{5} + 1}{2})$ $k = \frac{1}{900} ln(\frac{\sqrt{5} + 1}{2})$

Вычислим числовое значение: $k \approx \frac{1}{900} ln(\frac{2.236 + 1}{2}) = \frac{1}{900} ln(1.618) \approx \frac{0.4812}{900} \approx 0.0005347 \text{ с}^{-1}$

Ответ:

$k = \frac{1}{900} ln(\frac{\sqrt{5} + 1}{2}) \text{ с}^{-1} \approx 5.35 \cdot 10^{-4} \text{ с}^{-1}$