Номер 289, страница 337 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

11.289. Константа скорости сложной реакции выражается через константы скорости элементарных стадий следующим образом: $k =\frac{k_1{k}_{\mathit{2}}}{k_3}.$ Выразите эффективную энергию активации через энергии активации отдельных стадий.

Дано:

Зависимость константы скорости сложной реакции от констант скоростей элементарных стадий: $k = \frac{k_1 k_2}{k_3}$

Найти:

Выразить эффективную энергию активации $E_{a,эфф}$ через энергии активации отдельных стадий $E_{a1}, E_{a2}, E_{a3}$.

Решение:

Зависимость константы скорости реакции от температуры и энергии активации описывается уравнением Аррениуса:

$k = A \cdot e^{-\frac{E_a}{RT}}$

где $k$ – константа скорости, $A$ – предэкспоненциальный множитель, $E_a$ – энергия активации, $R$ – универсальная газовая постоянная, $T$ – абсолютная температура.

Запишем уравнение Аррениуса для общей (эффективной) константы скорости и для констант скоростей каждой элементарной стадии:

Для общей реакции: $k = A_{эфф} \cdot e^{-\frac{E_{a,эфф}}{RT}}$

Для первой стадии: $k_1 = A_1 \cdot e^{-\frac{E_{a1}}{RT}}$

Для второй стадии: $k_2 = A_2 \cdot e^{-\frac{E_{a2}}{RT}}$

Для третьей стадии: $k_3 = A_3 \cdot e^{-\frac{E_{a3}}{RT}}$

Подставим выражения для $k_1$, $k_2$ и $k_3$ в исходную формулу для $k$:

$k = \frac{(A_1 \cdot e^{-\frac{E_{a1}}{RT}}) \cdot (A_2 \cdot e^{-\frac{E_{a2}}{RT}})}{A_3 \cdot e^{-\frac{E_{a3}}{RT}}}$

Сгруппируем предэкспоненциальные множители и экспоненциальные члены:

$k = \frac{A_1 A_2}{A_3} \cdot \frac{e^{-\frac{E_{a1}}{RT}} \cdot e^{-\frac{E_{a2}}{RT}}}{e^{-\frac{E_{a3}}{RT}}}$

Применяя свойства степеней ($e^a \cdot e^b = e^{a+b}$ и $\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$), упростим выражение:

$k = \frac{A_1 A_2}{A_3} \cdot e^{(-\frac{E_{a1}}{RT} - \frac{E_{a2}}{RT} - (-\frac{E_{a3}}{RT}))}$

$k = \frac{A_1 A_2}{A_3} \cdot e^{-(\frac{E_{a1} + E_{a2} - E_{a3}}{RT})}$

Теперь сравним полученное выражение для $k$ с уравнением Аррениуса для общей реакции:

$A_{эфф} \cdot e^{-\frac{E_{a,эфф}}{RT}} = \frac{A_1 A_2}{A_3} \cdot e^{-\frac{E_{a1} + E_{a2} - E_{a3}}{RT}}$

Из сравнения видно, что эффективный предэкспоненциальный множитель $A_{эфф} = \frac{A_1 A_2}{A_3}$, а эффективная энергия активации $E_{a,эфф}$ определяется выражением в показателе степени.

Приравнивая показатели степеней, получаем:

$E_{a,эфф} = E_{a1} + E_{a2} - E_{a3}$

Ответ: $E_{a,эфф} = E_{a1} + E_{a2} - E_{a3}$