Номер 296, страница 338 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

11.296. Активность гетерогенного катализатора прямо пропорциональна площади его поверхности. Катализатор представляет собой кубические частицы размером 120 нм. Во сколько раз увеличится его активность, если каждый кубик разбить на 27 маленьких кубиков размером 40 нм?

Дано:

Размер исходной кубической частицы: $a_1 = 120 \text{ нм}$
Количество маленьких кубиков: $N = 27$
Размер маленького кубика: $a_2 = 40 \text{ нм}$
Активность катализатора $A$ прямо пропорциональна площади его поверхности $S$: $A \propto S$

$a_1 = 120 \text{ нм} = 120 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 1.2 \cdot 10^{-7} \text{ м}$
$a_2 = 40 \text{ нм} = 40 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 4 \cdot 10^{-8} \text{ м}$

Найти:

Во сколько раз увеличится активность, то есть найти отношение конечной активности $A_2$ к начальной $A_1$: $\frac{A_2}{A_1}$

Решение:

Активность гетерогенного катализатора прямо пропорциональна площади его поверхности. Это означает, что отношение активностей равно отношению площадей поверхностей.

$\frac{A_2}{A_1} = \frac{S_2}{S_1}$

где $S_1$ — начальная площадь поверхности, а $S_2$ — конечная (суммарная) площадь поверхности.

1. Найдем начальную площадь поверхности $S_1$. Катализатор представляет собой один куб со стороной $a_1$. Площадь поверхности куба вычисляется по формуле:

$S_{куба} = 6 \cdot a^2$

Тогда начальная площадь поверхности:

$S_1 = 6 \cdot a_1^2 = 6 \cdot (120 \text{ нм})^2$

2. Найдем конечную площадь поверхности $S_2$. После разделения исходного куба получилось $N=27$ маленьких кубиков, каждый со стороной $a_2$. Суммарная площадь поверхности будет равна произведению количества кубиков на площадь поверхности одного маленького кубика.

$S_2 = N \cdot (6 \cdot a_2^2) = 27 \cdot 6 \cdot (40 \text{ нм})^2$

3. Найдем отношение конечной площади к начальной.

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{N \cdot 6 \cdot a_2^2}{6 \cdot a_1^2} = \frac{27 \cdot 6 \cdot (40 \text{ нм})^2}{6 \cdot (120 \text{ нм})^2}$

Сократим $6$ и единицы измерения (нм²):

$\frac{S_2}{S_1} = 27 \cdot \frac{40^2}{120^2} = 27 \cdot \left(\frac{40}{120}\right)^2 = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 27 \cdot \frac{1}{9} = 3$

Так как отношение активностей равно отношению площадей, то:

$\frac{A_2}{A_1} = 3$

Таким образом, активность катализатора увеличится в 3 раза.

Ответ: активность катализатора увеличится в 3 раза.