Номер 274, страница 336 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

11.274. Реакция превращения аденозинтрифосфата (АТФ) в аденозиндифосфат (АДФ):

${\mathrm{АТФ}}^{4-}+{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}⟶{\mathrm{АДФ}}^3+{\mathrm{HPO}}_4^{2-}+{\mathrm{H}}^{+}$

может катализироваться кислотой или ферментом. Скорость реакции, протекающей при 30 °C в присутствии фермента в $8,26 ·{10}^7$ раз выше, чем в присутствии кислоты. Определите энергию активации реакции, катализируемой кислотой, если для ферментативной реакции энергия активации равна 43,9 кДж/моль.

Дано:

Отношение скоростей реакции (ферментативной к кислотно-катализируемой): $k_{ферм} / k_{кисл} = 8,26 \cdot 10^7$
Температура: $t = 30$ °C
Энергия активации ферментативной реакции: $E_{а, ферм} = 43,9$ кДж/моль
Универсальная газовая постоянная: $R = 8,314$ Дж/(моль·К)

Перевод в СИ:
Абсолютная температура: $T = 30 + 273,15 = 303,15$ К
Энергия активации ферментативной реакции: $E_{а, ферм} = 43,9 \cdot 10^3 = 43900$ Дж/моль

Найти:

$E_{а, кисл}$ — энергия активации реакции, катализируемой кислотой.

Решение:

Связь между константой скорости реакции $k$, энергией активации $E_a$ и температурой $T$ устанавливается уравнением Аррениуса:
$k = A \cdot e^{-E_a / (RT)}$
где $A$ — предэкспоненциальный множитель, зависящий от частоты столкновений молекул.

Запишем уравнения Аррениуса для реакции, катализируемой ферментом (индекс "ферм"), и для реакции, катализируемой кислотой (индекс "кисл"):
$k_{ферм} = A_{ферм} \cdot e^{-E_{а, ферм} / (RT)}$
$k_{кисл} = A_{кисл} \cdot e^{-E_{а, кисл} / (RT)}$

По условию, скорость ферментативной реакции выше, что соответствует отношению их констант скоростей:
$\frac{k_{ферм}}{k_{кисл}} = \frac{A_{ферм} \cdot e^{-E_{а, ферм} / (RT)}}{A_{кисл} \cdot e^{-E_{а, кисл} / (RT)}} = 8,26 \cdot 10^7$

Для дальнейшего решения примем допущение, что предэкспоненциальные множители для обоих каталитических путей примерно одинаковы ($A_{ферм} \approx A_{кисл}$). Это стандартное упрощение для задач такого типа. Тогда уравнение примет вид:
$\frac{e^{-E_{а, ферм} / (RT)}}{e^{-E_{а, кисл} / (RT)}} = e^{\frac{E_{а, кисл} - E_{а, ферм}}{RT}} = 8,26 \cdot 10^7$

Прологарифмируем обе части уравнения натуральным логарифмом:
$\ln\left(e^{\frac{E_{а, кисл} - E_{а, ферм}}{RT}}\right) = \ln(8,26 \cdot 10^7)$
$\frac{E_{а, кисл} - E_{а, ферм}}{RT} = \ln(8,26 \cdot 10^7)$

Выразим искомую энергию активации $E_{а, кисл}$:
$E_{а, кисл} - E_{а, ферм} = RT \cdot \ln(8,26 \cdot 10^7)$
$E_{а, кисл} = E_{а, ферм} + RT \cdot \ln(8,26 \cdot 10^7)$

Подставим числовые значения в систему СИ:
$E_{а, кисл} = 43900 \frac{Дж}{моль} + \left(8,314 \frac{Дж}{моль \cdot К} \cdot 303,15 К \cdot \ln(8,26 \cdot 10^7)\right)$

Рассчитаем значение выражения:
$\ln(8,26 \cdot 10^7) \approx 18,23$
$E_{а, кисл} \approx 43900 + (8,314 \cdot 303,15 \cdot 18,23)$
$E_{а, кисл} \approx 43900 + 45940$
$E_{а, кисл} \approx 89840$ Дж/моль

Переведем результат в кДж/моль, разделив на 1000:
$E_{а, кисл} = \frac{89840}{1000} = 89,84$ кДж/моль

Ответ: энергия активации реакции, катализируемой кислотой, равна $89,84$ кДж/моль.