Страница 254 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

10.33. Горная порода содержит 50 г урана-235, период полураспада которого составляет 700 млн лет. Сколько граммов урана-235 останется в породе через 1,4 млрд лет? Сколько литров гелия (н. у.) при этом образуется, если цепочка радиоактивных распадов, начинающаяся с урана-235, заканчивается свинцом-207?

Дано:

Найти:

Решение:

Сколько граммов урана-235 останется в породе через 1,4 млрд лет?

Для определения массы оставшегося радиоактивного вещества используем закон радиоактивного распада: $m(t) = m_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$, где $m(t)$ — масса вещества, оставшаяся через время $t$, $m_0$ — начальная масса вещества, $T_{1/2}$ — период полураспада.

Сначала найдем, сколько периодов полураспада прошло за 1,4 млрд лет: $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{1.4 \cdot 10^9 \text{ лет}}{700 \cdot 10^6 \text{ лет}} = \frac{1.4 \cdot 10^9 \text{ лет}}{0.7 \cdot 10^9 \text{ лет}} = 2$

Прошло ровно два периода полураспада. Теперь можем рассчитать оставшуюся массу урана-235: $m(t) = 50 \text{ г} \cdot 2^{-2} = 50 \text{ г} \cdot \frac{1}{4} = 12.5 \text{ г}$

Ответ: через 1,4 млрд лет в породе останется 12,5 г урана-235.

Сколько литров гелия (н. у.) при этом образуется, если цепочка радиоактивных распадов, начинающаяся с урана-235, заканчивается свинцом-207?

Гелий образуется в результате альфа-распадов. Альфа-частица является ядром атома гелия ($^{4}_{2}\text{He}$). Чтобы найти общее количество образовавшегося гелия, нужно определить, сколько альфа-частиц выделяется при полном превращении одного атома урана-235 в атом свинца-207.

Запишем суммарное уравнение ядерной реакции. Пусть $x$ — число альфа-распадов, а $y$ — число бета-распадов. $^{235}_{92}\text{U} \rightarrow ^{207}_{82}\text{Pb} + x \cdot ^{4}_{2}\text{He} + y \cdot ^{0}_{-1}\text{e}$

Составим уравнение баланса массовых чисел (сумма верхних индексов): $235 = 207 + x \cdot 4 + y \cdot 0$ $235 - 207 = 4x$ $28 = 4x$ $x = 7$

Таким образом, при распаде одного ядра урана-235 образуется 7 альфа-частиц (ядер гелия). Это означает, что из 1 моль урана-235 образуется 7 моль гелия.

Найдем массу распавшегося урана-235: $\Delta m_U = m_0 - m(t) = 50 \text{ г} - 12.5 \text{ г} = 37.5 \text{ г}$

Теперь вычислим количество вещества (число молей) распавшегося урана: $\nu_U = \frac{\Delta m_U}{M(^{235}\text{U})} = \frac{37.5 \text{ г}}{235 \text{ г/моль}} \approx 0.1596 \text{ моль}$

Количество вещества образовавшегося гелия будет в 7 раз больше: $\nu_{He} = 7 \cdot \nu_U = 7 \cdot \frac{37.5}{235} \text{ моль} \approx 7 \cdot 0.1596 \text{ моль} \approx 1.117 \text{ моль}$

Наконец, найдем объем гелия при нормальных условиях, используя молярный объем газа: $V_{He} = \nu_{He} \cdot V_m = 1.117 \text{ моль} \cdot 22.4 \text{ л/моль} \approx 25.02 \text{ л}$

Ответ: при этом образуется примерно 25,02 л гелия (н. у.).

10.34. Основной вклад во внутреннюю радиацию организма дают калий и углерод. Сколько всего радиоактивных распадов ежесекундно происходит в человеческом организме массой 70 кг? Каковы вклады калия и углерода (в %)? Справочная информация: массовое содержание калия и углерода в организме – 0,2% и 20% соответственно. Калий содержит 0,0119% радиоактивного ${}^{40}\mathrm{K}$ (общий период полураспада $1,31 · {10}^9$ лет), углерод – $1,3 · {10}^{-10}\%$ радиоактивного ${}^{14}\mathrm{С}$ $({\mathrm{t}}_{1/2}$ – 5730 лет).

Дано:

Масса организма, $m_{орг} = 70$ кг

Массовое содержание калия, $w_K = 0,2\% = 0,002$

Массовое содержание углерода, $w_C = 20\% = 0,2$

Изотопная распространенность $^{40}K$ в калии, $a_K = 0,0119\% = 0,000119$

Период полураспада $^{40}K$, $T_{1/2, K} = 1,31 \cdot 10^9$ лет

Изотопная распространенность $^{14}C$ в углероде, $a_C = 1,3 \cdot 10^{-10}\% = 1,3 \cdot 10^{-12}$

Период полураспада $^{14}C$, $T_{1/2, C} = 5730$ лет

Молярная масса $^{40}K$, $M_K \approx 40$ г/моль

Молярная масса $^{14}C$, $M_C \approx 14$ г/моль

Число Авогадро, $N_A = 6,022 \cdot 10^{23}$ моль$^{-1}$

Перевод в систему СИ:

$M_K = 0,04$ кг/моль

$M_C = 0,014$ кг/моль

$T_{1/2, K} = 1,31 \cdot 10^9 \text{ лет} \cdot 365,25 \frac{\text{дней}}{\text{год}} \cdot 24 \frac{\text{ч}}{\text{день}} \cdot 3600 \frac{\text{с}}{\text{ч}} \approx 4,134 \cdot 10^{16}$ с

$T_{1/2, C} = 5730 \text{ лет} \cdot 3,15576 \cdot 10^7 \frac{\text{с}}{\text{год}} \approx 1,808 \cdot 10^{11}$ с

Найти:

Общее число радиоактивных распадов в секунду - $A_{общ}$

Вклады калия и углерода в общую активность - $P_K, P_C$ (в %)

Решение:

Активность (число распадов в секунду) $A$ радиоактивного изотопа определяется формулой: $A = \lambda N$, где $N$ — число радиоактивных ядер, а $\lambda$ — постоянная распада.

Постоянная распада связана с периодом полураспада $T_{1/2}$ соотношением: $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$.

Число ядер $N$ можно найти, зная массу изотопа $m_{изотоп}$, его молярную массу $M$ и число Авогадро $N_A$: $N = \frac{m_{изотоп}}{M} N_A$.

Сначала рассчитаем активность для каждого изотопа.

1. Расчет активности калия-40 ($^{40}K$):

Масса калия в организме: $m_K = m_{орг} \cdot w_K = 70 \text{ кг} \cdot 0,002 = 0,14$ кг.

Масса радиоактивного изотопа $^{40}K$: $m_{^{40}K} = m_K \cdot a_K = 0,14 \text{ кг} \cdot 0,000119 = 1,666 \cdot 10^{-5}$ кг.

Число атомов $^{40}K$: $N_K = \frac{m_{^{40}K}}{M_K} N_A = \frac{1,666 \cdot 10^{-5} \text{ кг}}{0,04 \text{ кг/моль}} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 2,508 \cdot 10^{20}$ атомов.

Постоянная распада $^{40}K$: $\lambda_K = \frac{\ln 2}{T_{1/2, K}} = \frac{0,693}{4,134 \cdot 10^{16} \text{ с}} \approx 1,676 \cdot 10^{-17}$ с$^{-1}$.

Активность $^{40}K$: $A_K = \lambda_K N_K = 1,676 \cdot 10^{-17} \text{ с}^{-1} \cdot 2,508 \cdot 10^{20} \approx 4204$ Бк (распадов/с).

2. Расчет активности углерода-14 ($^{14}C$):

Масса углерода в организме: $m_C = m_{орг} \cdot w_C = 70 \text{ кг} \cdot 0,2 = 14$ кг.

Масса радиоактивного изотопа $^{14}C$: $m_{^{14}C} = m_C \cdot a_C = 14 \text{ кг} \cdot 1,3 \cdot 10^{-12} = 1,82 \cdot 10^{-11}$ кг.

Число атомов $^{14}C$: $N_C = \frac{m_{^{14}C}}{M_C} N_A = \frac{1,82 \cdot 10^{-11} \text{ кг}}{0,014 \text{ кг/моль}} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 7,829 \cdot 10^{14}$ атомов.

Постоянная распада $^{14}C$: $\lambda_C = \frac{\ln 2}{T_{1/2, C}} = \frac{0,693}{1,808 \cdot 10^{11} \text{ с}} \approx 3,833 \cdot 10^{-12}$ с$^{-1}$.

Активность $^{14}C$: $A_C = \lambda_C N_C = 3,833 \cdot 10^{-12} \text{ с}^{-1} \cdot 7,829 \cdot 10^{14} \approx 3001$ Бк (распадов/с).

Сколько всего радиоактивных распадов ежесекундно происходит в человеческом организме массой 70 кг?

Общее число радиоактивных распадов в секунду (общая активность) равно сумме активностей калия-40 и углерода-14.

$A_{общ} = A_K + A_C = 4204 \text{ Бк} + 3001 \text{ Бк} = 7205 \text{ Бк}$.

Ответ: ежесекундно в организме происходит примерно 7205 радиоактивных распадов.

Каковы вклады калия и углерода (в %)?

Вклад каждого элемента в общую активность рассчитывается как отношение его активности к общей, выраженное в процентах.

Вклад калия: $P_K = \frac{A_K}{A_{общ}} \cdot 100\% = \frac{4204}{7205} \cdot 100\% \approx 58,4\%$.

Вклад углерода: $P_C = \frac{A_C}{A_{общ}} \cdot 100\% = \frac{3001}{7205} \cdot 100\% \approx 41,6\%$.

Ответ: вклад калия составляет примерно 58,4%, вклад углерода – 41,6%.