Страница 253 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

10.25. Иод-131 при радиоактивном распаде превращается в ксенон и имеет период полураспада 8 сут. Напишите уравнение распада. Если взять чистый изотоп иода, то через какое время число образовавшихся атомов ксенона превысит число нераспавшихся атомов иода в 15 раз?

Уравнение распада

Радиоактивный распад иода-131 ($^{131}\text{I}$) в ксенон (Xe) является примером бета-минус распада ($\beta^-$). В процессе этого распада один из нейтронов в ядре иода превращается в протон, испуская электрон (бета-частицу) и электронное антинейтрино.

Порядковый номер иода (I) в таблице Менделеева $Z=53$. Порядковый номер ксенона (Xe) $Z=54$. При $\beta^-$-распаде массовое число $A$ сохраняется ($A=131$), а зарядовое число $Z$ увеличивается на единицу ($53 \rightarrow 54$). Уравнение реакции выглядит следующим образом:

$_{53}^{131}\text{I} \rightarrow _{54}^{131}\text{Xe} + _{-1}^{0}e + \bar{\nu}_e$

Ответ: Уравнение распада иода-131: $_{53}^{131}\text{I} \rightarrow _{54}^{131}\text{Xe} + _{-1}^{0}e + \bar{\nu}_e$.

Расчет времени, через которое число атомов ксенона превысит число атомов иода в 15 раз

Дано:

Период полураспада иода-131: $T_{1/2} = 8$ сут.
Отношение числа образовавшихся атомов ксенона ($N_{Xe}$) к числу нераспавшихся атомов иода ($N_I$): $\frac{N_{Xe}}{N_I} = 15$.

Найти:

$t$ — время, через которое выполнится заданное условие.

Решение:

Закон радиоактивного распада описывает количество нераспавшихся ядер исходного вещества $N_I$ в момент времени $t$:

$N_I(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

где $N_0$ — начальное число атомов иода-131.

Так как изначально был взят чистый изотоп иода, то по закону сохранения числа частиц, сумма числа оставшихся атомов иода $N_I(t)$ и числа образовавшихся атомов ксенона $N_{Xe}(t)$ равна начальному числу атомов иода $N_0$:

$N_0 = N_I(t) + N_{Xe}(t)$

Отсюда число образовавшихся атомов ксенона:

$N_{Xe}(t) = N_0 - N_I(t)$

По условию задачи, в искомый момент времени $t$ число атомов ксенона в 15 раз превышает число нераспавшихся атомов иода:

$N_{Xe}(t) = 15 \cdot N_I(t)$

Подставим это соотношение в уравнение сохранения частиц:

$N_0 = N_I(t) + 15 \cdot N_I(t)$

$N_0 = 16 \cdot N_I(t)$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $N_I(t)$ из закона радиоактивного распада:

$N_0 = 16 \cdot (N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}})$

Сократим $N_0$ (так как начальное количество атомов не равно нулю):

$1 = 16 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

Выразим степень с основанием 2:

$2^{-t/T_{1/2}} = \frac{1}{16}$

Так как $16 = 2^4$, то $\frac{1}{16} = 2^{-4}$.

$2^{-t/T_{1/2}} = 2^{-4}$

Приравняем показатели степеней, так как основания равны:

$-\frac{t}{T_{1/2}} = -4$

Отсюда находим время $t$:

$t = 4 \cdot T_{1/2}$

Подставим значение периода полураспада $T_{1/2} = 8$ сут:

$t = 4 \cdot 8 \text{ сут} = 32 \text{ сут}$

Ответ: 32 сут.

10.26. Натрий-24 при радиоактивном распаде превращается в магний-24 с периодом полураспада 15 ч. Если взять чистый изотоп натрия, то через сколько часов число атомов магния будет в 15 раз больше числа атомов натрия?

Дано:

Период полураспада натрия-24, $T = 15$ ч
Соотношение числа атомов в искомый момент времени $t$: $\frac{N_{Mg}(t)}{N_{Na}(t)} = 15$

Найти:

Время $t$ — ?

Решение:

Закон радиоактивного распада описывает количество нераспавшихся атомов натрия-24 ($N_{Na}$) в зависимости от времени $t$:

$N_{Na}(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T}$

где $N_0$ — начальное количество атомов натрия-24, а $T$ — период полураспада.

В начальный момент времени ($t=0$) образец состоял из чистого изотопа натрия, поэтому количество атомов магния-24 ($N_{Mg}$) было равно нулю. При распаде каждый атом натрия-24 превращается в один атом магния-24. Следовательно, количество образовавшихся атомов магния-24 в момент времени $t$ равно количеству распавшихся атомов натрия-24:

$N_{Mg}(t) = N_0 - N_{Na}(t)$

Подставим в это уравнение выражение для $N_{Na}(t)$:

$N_{Mg}(t) = N_0 - N_0 \cdot 2^{-t/T} = N_0 (1 - 2^{-t/T})$

Согласно условию задачи, в некоторый момент времени $t$ число атомов магния будет в 15 раз больше числа атомов натрия:

$N_{Mg}(t) = 15 \cdot N_{Na}(t)$

Подставим выражения для $N_{Na}(t)$ и $N_{Mg}(t)$ в это соотношение:

$N_0 (1 - 2^{-t/T}) = 15 \cdot (N_0 \cdot 2^{-t/T})$

Сократим обе части уравнения на $N_0$ (начальное число атомов не равно нулю):

$1 - 2^{-t/T} = 15 \cdot 2^{-t/T}$

Перенесем слагаемые, содержащие $2^{-t/T}$, в правую часть:

$1 = 15 \cdot 2^{-t/T} + 2^{-t/T}$

$1 = 16 \cdot 2^{-t/T}$

Отсюда выразим $2^{-t/T}$:

$2^{-t/T} = \frac{1}{16}$

Представим $\frac{1}{16}$ как степень двойки: $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$.

$2^{-t/T} = 2^{-4}$

Приравниваем показатели степени, так как основания равны:

$-\frac{t}{T} = -4$

$\frac{t}{T} = 4$

$t = 4T$

Подставим значение периода полураспада $T = 15$ ч:

$t = 4 \cdot 15 \text{ ч} = 60 \text{ ч}$

Ответ: через 60 часов число атомов магния будет в 15 раз больше числа атомов натрия.

10.27. Тритий при радиоактивном распаде превращается в гелий-3 с периодом полураспада 12,3 лет. Если взять чистый изотоп трития, то через сколько лет число атомов гелия будет в 7 раз больше числа атомов трития?

Дано:

Период полураспада трития: $T_{1/2} = 12,3$ лет.
Отношение числа атомов гелия к числу атомов трития в искомый момент времени: $\frac{N_{He}}{N_{T}} = 7$.
В начальный момент времени образец состоит из чистого трития.

Найти:

Время $t$, через которое установится данное соотношение атомов.

Решение:

Пусть $N_0$ — начальное число атомов трития. При радиоактивном распаде трития образуется гелий-3. Поскольку каждый распавшийся атом трития превращается в один атом гелия, то в любой момент времени $t$ сумма числа оставшихся атомов трития $N_T(t)$ и образовавшихся атомов гелия $N_{He}(t)$ равна начальному числу атомов трития:
$N_T(t) + N_{He}(t) = N_0$

По условию задачи, в искомый момент времени $t$ число атомов гелия в 7 раз больше числа атомов трития:
$N_{He}(t) = 7 \cdot N_T(t)$

Подставим это соотношение в уравнение сохранения числа ядер:
$N_T(t) + 7 \cdot N_T(t) = N_0$
$8 \cdot N_T(t) = N_0$
$N_T(t) = \frac{N_0}{8}$

Это означает, что к моменту времени $t$ должна остаться $\frac{1}{8}$ часть от начального количества атомов трития.

Теперь воспользуемся законом радиоактивного распада, который связывает долю нераспавшихся ядер со временем:
$N_T(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$
где $T_{1/2}$ — период полураспада.

Подставим в это уравнение найденное нами соотношение для $N_T(t)$:
$\frac{N_0}{8} = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

Сократим обе части уравнения на $N_0$ и представим $\frac{1}{8}$ в виде степени двойки: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.
$2^{-3} = 2^{-t/T_{1/2}}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$-3 = -\frac{t}{T_{1/2}}$

Отсюда выражаем искомое время $t$:
$t = 3 \cdot T_{1/2}$

Подставим численное значение периода полураспада трития, данное в условии:
$t = 3 \cdot 12,3 \text{ лет} = 36,9 \text{ лет}$

Ответ: через 36,9 лет число атомов гелия будет в 7 раз больше числа атомов трития.

10.28. В городе Дубна Московской области находится Объединённый институт ядерных исследований (ОИЯИ), в котором на ускорителе тяжёлых ионов были синтезированы изотопы многих новых элементов Периодической системы. Так, бомбардировка ядер ${}^{244}\mathrm{Pu}$ (мишени) ионами ${}^{48}\mathrm{Ca}$ привела к образованию ядер изотопа элемента с номером 114 (флеровий, ${}^{288}\mathrm{Fl}$). Запишите уравнение этой ядерной реакции. Кратко поясните, почему мишень облучают ионами, а не нейтральными атомами.

Запишите уравнение этой ядерной реакции.

Решение

Чтобы записать уравнение ядерной реакции, необходимо применить законы сохранения массового числа (A, верхний индекс) и зарядового числа (Z, нижний индекс). В реакции участвуют ядро плутония-244 ($^{244}\text{Pu}$) и ядро кальция-48 ($^{48}\text{Ca}$), в результате чего образуется ядро флеровия-288 ($^{288}\text{Fl}$) и, возможно, другие частицы.

Зарядовые числа (порядковые номера в Периодической системе) для элементов: плутоний (Pu) Z=94, кальций (Ca) Z=20, флеровий (Fl) Z=114 (указано в условии).

Запишем схему реакции, обозначив неизвестные частицы как $x \cdot ^a_bY$:

$$^{244}_{94}\text{Pu} + ^{48}_{20}\text{Ca} \rightarrow ^{288}_{114}\text{Fl} + x \cdot ^a_bY$$

Сумма зарядовых чисел до реакции должна быть равна сумме зарядовых чисел после реакции:

$94 + 20 = 114 + x \cdot b$

$114 = 114 + x \cdot b$

Отсюда следует, что $x \cdot b = 0$. Это означает, что испускаемые частицы не имеют заряда ($b=0$), то есть это нейтроны ($^1_0\text{n}$).

Теперь применим закон сохранения массового числа (суммы нуклонов):

$244 + 48 = 288 + x \cdot a$

$292 = 288 + x \cdot a$

Отсюда $x \cdot a = 4$. Так как для нейтрона массовое число $a=1$, получаем, что количество нейтронов $x = 4$.

Таким образом, в ходе реакции образуется 4 нейтрона.

Ответ: Уравнение ядерной реакции синтеза флеровия имеет вид:

$$^{244}_{94}\text{Pu} + ^{48}_{20}\text{Ca} \rightarrow ^{288}_{114}\text{Fl} + 4 \cdot ^{1}_{0}\text{n}$$

Кратко поясните, почему мишень облучают ионами, а не нейтральными атомами.

Решение

Для осуществления реакции ядерного синтеза необходимо, чтобы бомбардирующие частицы (в данном случае ядра кальция) имели очень большую кинетическую энергию. Эта энергия требуется для преодоления кулоновского барьера — сил электростатического отталкивания между положительно заряженными ядрами мишени (плутония) и налетающими частицами (кальция).

Для придания частицам необходимой энергии используются ускорители. Принцип действия ускорителей основан на взаимодействии заряженных частиц с электрическими и/или магнитными полями. Сильное электрическое поле разгоняет частицу, увеличивая ее скорость и энергию, а магнитное поле используется для управления ее траекторией.

Нейтральный атом имеет нулевой суммарный электрический заряд. Поэтому электрическое и магнитное поля не могут оказать на него силового воздействия и, следовательно, не могут его ускорить. Чтобы частицу можно было разогнать в ускорителе, ее необходимо ионизировать — лишить одного или нескольких электронов. В результате атом превращается в положительно заряженный ион, который уже можно эффективно ускорять до требуемых энергий.

Ответ: Мишень облучают ионами, а не нейтральными атомами, потому что ускорители частиц используют электрические и магнитные поля для разгона. Эти поля действуют только на заряженные частицы. Нейтральные атомы не имеют заряда, поэтому их невозможно ускорить до энергий, достаточных для преодоления сил отталкивания ядер и осуществления ядерной реакции.

10.29. Оксид одного из долгоживущих изотопов кюрия, ${}^{244}\mathrm{CmO}_2,$ является «ядерным топливом» в радиоизотопных электрогенераторах – устройствах, преобразующих кинетическую энергию $\mathrm{\alpha }$-частиц в тепловую и затем – в электрическую энергию. В генератор поместили 966 г ${}^{244}\mathrm{CmO}_2,$ и за три года его тепловая мощность уменьшилась с 2386 до 2126 Вт (1 Вт = = 1 Дж/с). а) Запишите уравнение $\mathrm{\alpha }$-распада кюрия-244. б) Определите период полураспада ${}^{244}\mathrm{Cm}$ в) Рассчитайте среднюю кинетическую энергию $\mathrm{\alpha }$-частиц, образующихся при распаде радионуклида, в единицах электронвольт (1 Дж = $6,242 · {10}^{18} \mathrm{эВ}).$ При расчёте примите, что кинетическая энергия частиц полностью преобразуется в тепловую энергию.

Дано:

Масса оксида кюрия-244, $m(^{244}\text{CmO}_2) = 966 \text{ г}$
Время, $t = 3 \text{ года}$
Начальная тепловая мощность, $P_0 = 2386 \text{ Вт}$
Конечная тепловая мощность, $P = 2126 \text{ Вт}$
Соотношение единиц энергии, $1 \text{ Дж} = 6.242 \cdot 10^{18} \text{ эВ}$
Число Авогадро, $N_A = 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

$m(^{244}\text{CmO}_2) = 0.966 \text{ кг}$
$t = 3 \text{ года} \cdot 365.25 \frac{\text{дней}}{\text{год}} \cdot 24 \frac{\text{часов}}{\text{день}} \cdot 3600 \frac{\text{с}}{\text{час}} = 94672800 \text{ с}$
$P_0 = 2386 \text{ Дж/с}$
$P = 2126 \text{ Дж/с}$

Найти:

а) Уравнение $\alpha$-распада кюрия-244.
б) Период полураспада $T_{1/2}$ для $^{244}$Cm.
в) Среднюю кинетическую энергию $E_k$ $\alpha$-частицы в электрон-вольтах (эВ).

Решение:

а) Альфа-распад — это вид радиоактивного распада ядра, в результате которого испускается $\alpha$-частица (ядро атома гелия $_{2}^{4}\text{He}$). Порядковый номер кюрия (Cm) в таблице Менделеева равен 96.

Уравнение распада в общем виде:$$_{Z}^{A}\text{X} \rightarrow _{Z-2}^{A-4}\text{Y} + _{2}^{4}\text{He}$$Для кюрия-244 ($A=244, Z=96$):$$_{96}^{244}\text{Cm} \rightarrow _{96-2}^{244-4}\text{Y} + _{2}^{4}\text{He}$$$$_{96}^{244}\text{Cm} \rightarrow _{94}^{240}\text{Y} + _{2}^{4}\text{He}$$Элемент с порядковым номером 94 — это плутоний (Pu). Таким образом, уравнение $\alpha$-распада кюрия-244 имеет вид:

Ответ: $_{96}^{244}\text{Cm} \rightarrow _{94}^{240}\text{Pu} + _{2}^{4}\text{He}$

б) Тепловая мощность генератора $P$ пропорциональна активности источника, которая, в свою очередь, пропорциональна числу нераспавшихся ядер $N$. Поэтому для мощности справедлив закон радиоактивного распада:$$P(t) = P_0 e^{-\lambda t}$$где $\lambda$ — постоянная распада.

Выразим постоянную распада $\lambda$:$$\frac{P}{P_0} = e^{-\lambda t} \implies \ln\left(\frac{P}{P_0}\right) = -\lambda t \implies \lambda = \frac{1}{t}\ln\left(\frac{P_0}{P}\right)$$Период полураспада $T_{1/2}$ связан с постоянной распада соотношением $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$.Подставим выражение для $\lambda$:$$T_{1/2} = \frac{t \cdot \ln 2}{\ln\left(\frac{P_0}{P}\right)}$$Подставим числовые значения:$$T_{1/2} = \frac{3 \text{ года} \cdot \ln 2}{\ln\left(\frac{2386}{2126}\right)} \approx \frac{3 \cdot 0.6931}{0.1154} \approx 18.02 \text{ года}$$

Ответ: Период полураспада $^{244}$Cm составляет примерно 18.02 года.

в) Начальная тепловая мощность $P_0$ равна произведению средней кинетической энергии $E_k$, выделяющейся при одном акте распада, на начальную активность $A_0$ образца.$$P_0 = E_k \cdot A_0$$Начальная активность $A_0 = \lambda N_0$, где $N_0$ — начальное число ядер $^{244}$Cm.Следовательно:$$P_0 = E_k \cdot \lambda \cdot N_0 \implies E_k = \frac{P_0}{\lambda N_0}$$Найдем начальное число ядер $N_0$.Молярная масса оксида кюрия $M(^{244}\text{CmO}_2) = M(^{244}\text{Cm}) + 2 \cdot M(\text{O}) \approx 244 + 2 \cdot 16 = 276 \text{ г/моль}$.Количество вещества оксида кюрия:$$\nu = \frac{m(^{244}\text{CmO}_2)}{M(^{244}\text{CmO}_2)} = \frac{966 \text{ г}}{276 \text{ г/моль}} = 3.5 \text{ моль}$$Поскольку в каждой молекуле $^{244}\text{CmO}_2$ содержится один атом $^{244}$Cm, количество вещества кюрия-244 также равно $3.5 \text{ моль}$.Начальное число ядер $N_0$:$$N_0 = \nu \cdot N_A = 3.5 \text{ моль} \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} = 2.1077 \cdot 10^{24}$$Подставим выражение для $\lambda = \frac{1}{t}\ln\left(\frac{P_0}{P}\right)$ в формулу для $E_k$:$$E_k = \frac{P_0 \cdot t}{N_0 \cdot \ln\left(\frac{P_0}{P}\right)}$$Рассчитаем энергию в джоулях:$$E_k = \frac{2386 \text{ Дж/с} \cdot 94672800 \text{ с}}{2.1077 \cdot 10^{24} \cdot \ln\left(\frac{2386}{2126}\right)} \approx \frac{2.259 \cdot 10^{11} \text{ Дж}}{2.1077 \cdot 10^{24} \cdot 0.1154} \approx 9.286 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$$Переведем энергию в электрон-вольты (эВ):$$E_k(\text{эВ}) = 9.286 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} \cdot 6.242 \cdot 10^{18} \frac{\text{эВ}}{\text{Дж}} \approx 5.796 \cdot 10^6 \text{ эВ}$$Это значение можно представить как $5.80 \text{ МэВ}$.

Ответ: Средняя кинетическая энергия $\alpha$-частиц составляет $5.80 \cdot 10^6 \text{ эВ}$.

10.30. В реакции радиоактивного распада 50% ядер распадается за 20 мин. За какое время распадается 25% ядер?

Дано:

Доля распавшихся ядер за время $t_1$: $\frac{\Delta N_1}{N_0} = 50\% = 0.5$

Время $t_1 = 20$ мин

Доля распавшихся ядер, для которых нужно найти время: $\frac{\Delta N_2}{N_0} = 25\% = 0.25$

Найти:

$t_2$

Решение:

Закон радиоактивного распада связывает количество нераспавшихся ядер $N$ в момент времени $t$ с начальным количеством ядер $N_0$ и периодом полураспада $T_{1/2}$:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Период полураспада — это время, в течение которого распадается половина (50%) от исходного числа радиоактивных ядер. Согласно условию задачи, 50% ядер распадаются за 20 минут. Это означает, что период полураспада данного вещества равен:

$T_{1/2} = t_1 = 20$ мин.

Требуется найти время $t_2$, за которое распадется 25% ядер. Если распалось 25% ядер, значит, нераспавшимися осталось $100\% - 25\% = 75\%$ от начального количества. Таким образом, в момент времени $t_2$ количество нераспавшихся ядер $N(t_2)$ будет равно:

$N(t_2) = (1 - 0.25) \cdot N_0 = 0.75 \cdot N_0$.

Подставим это соотношение в формулу закона радиоактивного распада:

$0.75 \cdot N_0 = N_0 \cdot 2^{-\frac{t_2}{T_{1/2}}}$

Разделим обе части уравнения на $N_0$:

$0.75 = 2^{-\frac{t_2}{T_{1/2}}}$

Подставим известное значение $T_{1/2} = 20$ мин и представим десятичную дробь 0.75 в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{4}$:

$\frac{3}{4} = 2^{-\frac{t_2}{20}}$

Чтобы найти $t_2$, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$\log_2\left(\frac{3}{4}\right) = \log_2\left(2^{-\frac{t_2}{20}}\right)$

Используя свойства логарифмов ($\log_a(\frac{b}{c}) = \log_a(b) - \log_a(c)$ и $\log_a(a^x) = x$), получаем:

$\log_2(3) - \log_2(4) = -\frac{t_2}{20}$

Поскольку $\log_2(4) = \log_2(2^2) = 2$, уравнение принимает вид:

$\log_2(3) - 2 = -\frac{t_2}{20}$

Выразим $t_2$:

$t_2 = -20 \cdot (\log_2(3) - 2)$

$t_2 = 20 \cdot (2 - \log_2(3))$

Для вычисления воспользуемся приближенным значением логарифма: $\log_2(3) \approx 1.585$.

$t_2 \approx 20 \cdot (2 - 1.585) = 20 \cdot 0.415 \approx 8.3$ мин.

Ответ: 25% ядер распадается за время, приблизительно равное 8.3 мин.

10.31. В реакции радиоактивного распада 25% ядер распадается за 12 ч. Чему равен период полураспада?

Дано:

Доля распавшихся ядер: $\frac{\Delta N}{N_0} = 25\% = 0.25$
Время распада: $t = 12$ ч

Перевод в систему СИ:
$t = 12 \cdot 3600 \text{ с} = 43200 \text{ с}$

Найти:

Период полураспада: $T_{1/2}$

Решение:

Закон радиоактивного распада связывает количество нераспавшихся ядер $N$ в момент времени $t$ с начальным количеством ядер $N_0$ и периодом полураспада $T_{1/2}$: $$ N(t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}} $$

Согласно условию задачи, за время $t = 12$ часов распалось 25% ядер. Это означает, что количество нераспавшихся ядер $N(t)$ составляет $100\% - 25\% = 75\%$ от начального количества $N_0$. $$ N(t) = N_0 - 0.25 N_0 = 0.75 N_0 $$

Приравняем два выражения для $N(t)$: $$ 0.75 N_0 = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}} $$ Разделим обе части уравнения на $N_0$: $$ 0.75 = 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}} $$

Чтобы найти $T_{1/2}$, прологарифмируем обе части уравнения. Удобно использовать натуральный логарифм ($\ln$): $$ \ln(0.75) = \ln(2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}) $$ Используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$, получаем: $$ \ln(0.75) = -\frac{t}{T_{1/2}} \cdot \ln(2) $$

Теперь выразим период полураспада $T_{1/2}$: $$ T_{1/2} = -\frac{t \cdot \ln(2)}{\ln(0.75)} $$

Подставим числовые значения. Расчеты можно провести в часах, так как это удобнее. $t = 12$ ч
$\ln(2) \approx 0.6931$
$\ln(0.75) = \ln(3/4) \approx -0.2877$

$$ T_{1/2} = -\frac{12 \text{ ч} \cdot 0.6931}{-0.2877} \approx \frac{8.3172}{0.2877} \text{ ч} \approx 28.91 \text{ ч} $$ Округляя до десятых, получаем 28.9 ч.

Ответ: период полураспада равен приблизительно 28.9 ч.

10.32. Горная порода содержит 200 г урана-238 и 64 г свинца-206, который образовался из урана в результате цепочки радиоактивных распадов. Сколько процентов урана, изначально содержащегося в породе, распалось? Сколько литров гелия (н. у.) при этом образовалось?

Дано:

Масса урана-238, $m_{U} = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

Масса свинца-206, $m_{Pb} = 64 \text{ г} = 0.064 \text{ кг}$

Молярная масса урана-238, $M_{U} \approx 238 \text{ г/моль} = 0.238 \text{ кг/моль}$

Молярная масса свинца-206, $M_{Pb} \approx 206 \text{ г/моль} = 0.206 \text{ кг/моль}$

Молярный объем газа при нормальных условиях (н. у.), $V_m = 22.4 \text{ л/моль} = 22.4 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3\text{/моль}$

Найти:

Процент распавшегося урана, $w_{расп}$ - ?

Объем образовавшегося гелия, $V_{He}$ - ?

Решение:

Сначала запишем суммарное уравнение реакции радиоактивного распада урана-238 в свинец-206. Этот процесс включает в себя серию альфа- и бета-распадов.

$^{238}_{92}\text{U} \rightarrow ^{206}_{82}\text{Pb} + x \cdot ^{4}_{2}\text{He} + y \cdot ^{0}_{-1}\text{e}$

Применим законы сохранения массового числа (A) и зарядового числа (Z), чтобы найти количество альфа-частиц ($x$) и бета-частиц ($y$).

Баланс массовых чисел: $238 = 206 + 4x \implies 4x = 32 \implies x = 8$.

Баланс зарядовых чисел: $92 = 82 + 2x - y \implies 92 = 82 + 2 \cdot 8 - y \implies 92 = 98 - y \implies y = 6$.

Таким образом, при распаде одного атома урана-238 образуется один атом свинца-206 и 8 ядер гелия. Это означает, что количество вещества (число молей) распавшегося урана равно количеству вещества образовавшегося свинца.

Сколько процентов урана, изначально содержащегося в породе, распалось?

1. Найдем количество вещества образовавшегося свинца-206:

$\nu_{Pb} = \frac{m_{Pb}}{M_{Pb}} = \frac{64 \text{ г}}{206 \text{ г/моль}}$

2. Количество вещества распавшегося урана равно количеству вещества свинца:

$\nu_{U, расп} = \nu_{Pb} = \frac{64}{206} \text{ моль}$

3. Вычислим массу распавшегося урана:

$m_{U, расп} = \nu_{U, расп} \cdot M_{U} = \frac{64}{206} \text{ моль} \cdot 238 \text{ г/моль} = \frac{15232}{206} \text{ г} \approx 73.94 \text{ г}$

4. Начальная масса урана в породе ($m_{U, нач}$) равна сумме массы оставшегося и массы распавшегося урана:

$m_{U, нач} = m_{U} + m_{U, расп} \approx 200 \text{ г} + 73.94 \text{ г} = 273.94 \text{ г}$

5. Найдем долю распавшегося урана в процентах:

$w_{расп} = \frac{m_{U, расп}}{m_{U, нач}} \cdot 100\% \approx \frac{73.94 \text{ г}}{273.94 \text{ г}} \cdot 100\% \approx 27\%$

Ответ: Распалось около 27% от начального количества урана.

Сколько литров гелия (н. у.) при этом образовалось?

1. Согласно уравнению реакции, при распаде одного моля урана образуется 8 молей гелия:

$\nu_{He} = 8 \cdot \nu_{U, расп} = 8 \cdot \nu_{Pb} = 8 \cdot \frac{64 \text{ г}}{206 \text{ г/моль}} = \frac{512}{206} \text{ моль} \approx 2.485 \text{ моль}$

2. Объем гелия при нормальных условиях (н. у.) найдем, умножив количество вещества на молярный объем газа ($V_m = 22.4$ л/моль):

$V_{He} = \nu_{He} \cdot V_m = \frac{512}{206} \text{ моль} \cdot 22.4 \text{ л/моль} \approx 55.7 \text{ л}$

С учетом точности исходных данных (64 г - две значащие цифры), ответ следует округлить до двух значащих цифр.

$V_{He} \approx 56 \text{ л}$

Ответ: Образовалось около 56 л гелия.