Страница 336 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

11.274. Реакция превращения аденозинтрифосфата (АТФ) в аденозиндифосфат (АДФ):

${\mathrm{АТФ}}^{4-}+{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}⟶{\mathrm{АДФ}}^3+{\mathrm{HPO}}_4^{2-}+{\mathrm{H}}^{+}$

может катализироваться кислотой или ферментом. Скорость реакции, протекающей при 30 °C в присутствии фермента в $8,26 ·{10}^7$ раз выше, чем в присутствии кислоты. Определите энергию активации реакции, катализируемой кислотой, если для ферментативной реакции энергия активации равна 43,9 кДж/моль.

Дано:

Отношение скоростей реакции (ферментативной к кислотно-катализируемой): $k_{ферм} / k_{кисл} = 8,26 \cdot 10^7$
Температура: $t = 30$ °C
Энергия активации ферментативной реакции: $E_{а, ферм} = 43,9$ кДж/моль
Универсальная газовая постоянная: $R = 8,314$ Дж/(моль·К)

Перевод в СИ:
Абсолютная температура: $T = 30 + 273,15 = 303,15$ К
Энергия активации ферментативной реакции: $E_{а, ферм} = 43,9 \cdot 10^3 = 43900$ Дж/моль

Найти:

$E_{а, кисл}$ — энергия активации реакции, катализируемой кислотой.

Решение:

Связь между константой скорости реакции $k$, энергией активации $E_a$ и температурой $T$ устанавливается уравнением Аррениуса:
$k = A \cdot e^{-E_a / (RT)}$
где $A$ — предэкспоненциальный множитель, зависящий от частоты столкновений молекул.

Запишем уравнения Аррениуса для реакции, катализируемой ферментом (индекс "ферм"), и для реакции, катализируемой кислотой (индекс "кисл"):
$k_{ферм} = A_{ферм} \cdot e^{-E_{а, ферм} / (RT)}$
$k_{кисл} = A_{кисл} \cdot e^{-E_{а, кисл} / (RT)}$

По условию, скорость ферментативной реакции выше, что соответствует отношению их констант скоростей:
$\frac{k_{ферм}}{k_{кисл}} = \frac{A_{ферм} \cdot e^{-E_{а, ферм} / (RT)}}{A_{кисл} \cdot e^{-E_{а, кисл} / (RT)}} = 8,26 \cdot 10^7$

Для дальнейшего решения примем допущение, что предэкспоненциальные множители для обоих каталитических путей примерно одинаковы ($A_{ферм} \approx A_{кисл}$). Это стандартное упрощение для задач такого типа. Тогда уравнение примет вид:
$\frac{e^{-E_{а, ферм} / (RT)}}{e^{-E_{а, кисл} / (RT)}} = e^{\frac{E_{а, кисл} - E_{а, ферм}}{RT}} = 8,26 \cdot 10^7$

Прологарифмируем обе части уравнения натуральным логарифмом:
$\ln\left(e^{\frac{E_{а, кисл} - E_{а, ферм}}{RT}}\right) = \ln(8,26 \cdot 10^7)$
$\frac{E_{а, кисл} - E_{а, ферм}}{RT} = \ln(8,26 \cdot 10^7)$

Выразим искомую энергию активации $E_{а, кисл}$:
$E_{а, кисл} - E_{а, ферм} = RT \cdot \ln(8,26 \cdot 10^7)$
$E_{а, кисл} = E_{а, ферм} + RT \cdot \ln(8,26 \cdot 10^7)$

Подставим числовые значения в систему СИ:
$E_{а, кисл} = 43900 \frac{Дж}{моль} + \left(8,314 \frac{Дж}{моль \cdot К} \cdot 303,15 К \cdot \ln(8,26 \cdot 10^7)\right)$

Рассчитаем значение выражения:
$\ln(8,26 \cdot 10^7) \approx 18,23$
$E_{а, кисл} \approx 43900 + (8,314 \cdot 303,15 \cdot 18,23)$
$E_{а, кисл} \approx 43900 + 45940$
$E_{а, кисл} \approx 89840$ Дж/моль

Переведем результат в кДж/моль, разделив на 1000:
$E_{а, кисл} = \frac{89840}{1000} = 89,84$ кДж/моль

Ответ: энергия активации реакции, катализируемой кислотой, равна $89,84$ кДж/моль.

11.275. В ферментативном и неферментативном путях некоторого метаболического процесса энергии активации различаются на 24,0 кДж/моль. Во сколько раз скорость ферментативной реакции больше при 300 К? Примите, что предэкспоненциальные множители для обоих путей равны.

Дано:

Разница энергий активации ферментативного и неферментативного путей: $ΔE_a = 24,0$ кДж/моль

Температура: $T = 300$ К

Предеэкспоненциальные множители равны: $A_{ферм} = A_{неферм}$

Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8,314$ Дж/(моль·К)

Перевод в систему СИ:

$ΔE_a = 24,0 \text{ кДж/моль} = 24,0 \cdot 10^3 \text{ Дж/моль} = 24000 \text{ Дж/моль}$

Найти:

Отношение скорости ферментативной реакции к скорости неферментативной реакции: $\frac{v_{ферм}}{v_{неферм}}$

Решение:

Скорость химической реакции описывается уравнением Аррениуса, которое связывает константу скорости реакции $k$ с энергией активации $E_a$ и температурой $T$:

$k = A \cdot e^{-\frac{E_a}{RT}}$

где $A$ — предэкспоненциальный множитель, $R$ — универсальная газовая постоянная.

Скорость реакции $v$ прямо пропорциональна константе скорости $k$ (при прочих равных условиях). Поэтому отношение скоростей будет равно отношению констант скоростей.

Запишем выражения для констант скоростей ферментативной ($k_{ферм}$) и неферментативной ($k_{неферм}$) реакций:

$k_{ферм} = A_{ферм} \cdot e^{-\frac{E_{a,ферм}}{RT}}$

$k_{неферм} = A_{неферм} \cdot e^{-\frac{E_{a,неферм}}{RT}}$

Найдем искомое отношение скоростей:

$\frac{v_{ферм}}{v_{неферм}} = \frac{k_{ферм}}{k_{неферм}} = \frac{A_{ферм} \cdot e^{-\frac{E_{a,ферм}}{RT}}}{A_{неферм} \cdot e^{-\frac{E_{a,неферм}}{RT}}}$

По условию, предэкспоненциальные множители равны ($A_{ферм} = A_{неферм}$), поэтому они сокращаются:

$\frac{v_{ферм}}{v_{неферм}} = \frac{e^{-\frac{E_{a,ферм}}{RT}}}{e^{-\frac{E_{a,неферм}}{RT}}} = e^{-\frac{E_{a,ферм}}{RT} - (-\frac{E_{a,неферм}}{RT})} = e^{\frac{E_{a,неферм} - E_{a,ферм}}{RT}}$

Ферменты являются катализаторами, они снижают энергию активации реакции. Следовательно, энергия активации неферментативной реакции $E_{a,неферм}$ больше энергии активации ферментативной реакции $E_{a,ферм}$. Их разница $E_{a,неферм} - E_{a,ферм}$ и есть данная в условии величина $ΔE_a = 24,0$ кДж/моль.

Таким образом, формула для расчета принимает вид:

$\frac{v_{ферм}}{v_{неферм}} = e^{\frac{ΔE_a}{RT}}$

Подставим числовые значения, переведенные в систему СИ:

$\frac{v_{ферм}}{v_{неферм}} = e^{\frac{24000 \text{ Дж/моль}}{8,314 \text{ Дж/(моль·К)} \cdot 300 \text{ К}}} = e^{\frac{24000}{2494,2}} \approx e^{9,6223}$

Вычислим значение экспоненты:

$e^{9,6223} \approx 15095,7$

С учетом того, что исходные данные ($24,0$ кДж/моль и $300$ К) даны с тремя значащими цифрами, округлим результат до трех значащих цифр.

$\frac{v_{ферм}}{v_{неферм}} \approx 15100 = 1,51 \cdot 10^4$

Ответ: скорость ферментативной реакции больше скорости неферментативной реакции примерно в $1,51 \cdot 10^4$ раз (или в 15100 раз).

11.276. В ферментативном и неферментативном путях некоторого метаболического процесса энергии активации различаются на 26,0 кДж/моль. Во сколько раз скорость ферментативной реакции больше при 298 К? Примите, что предэкспоненциальные множители для обоих путей равны.

Дано:

Разница в энергиях активации между неферментативным и ферментативным путями: $\Delta E_a = E_{a,NE} - E_{a,E} = 26,0 \text{ кДж/моль}$

Температура: $T = 298 \text{ К}$

Предэкспоненциальные множители для обоих путей равны: $A_E = A_{NE}$

Найти:

Отношение скорости ферментативной реакции ($v_E$) к скорости неферментативной реакции ($v_{NE}$): $\frac{v_E}{v_{NE}}$

Решение:

Связь между константой скорости реакции $k$, энергией активации $E_a$ и температурой $T$ описывается уравнением Аррениуса:

$k = A \cdot e^{-\frac{E_a}{RT}}$

где $A$ — предэкспоненциальный множитель, а $R$ — универсальная газовая постоянная ($R \approx 8,314 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}$).

Скорость реакции $v$ прямо пропорциональна константе скорости $k$ (при прочих равных условиях, включая концентрации реагентов). Следовательно, отношение скоростей ферментативной ($v_E$) и неферментативной ($v_{NE}$) реакций равно отношению их констант скоростей ($k_E$ и $k_{NE}$):

$\frac{v_E}{v_{NE}} = \frac{k_E}{k_{NE}}$

Запишем выражения для констант скоростей для обоих путей:

Для ферментативного пути: $k_E = A_E \cdot e^{-\frac{E_{a,E}}{RT}}$

Для неферментативного пути: $k_{NE} = A_{NE} \cdot e^{-\frac{E_{a,NE}}{RT}}$

Теперь найдем их отношение:

$\frac{k_E}{k_{NE}} = \frac{A_E \cdot e^{-\frac{E_{a,E}}{RT}}}{A_{NE} \cdot e^{-\frac{E_{a,NE}}{RT}}}$

Согласно условию задачи, предэкспоненциальные множители равны ($A_E = A_{NE}$), поэтому они сокращаются:

$\frac{k_E}{k_{NE}} = \frac{e^{-\frac{E_{a,E}}{RT}}}{e^{-\frac{E_{a,NE}}{RT}}} = e^{(-\frac{E_{a,E}}{RT}) - (-\frac{E_{a,NE}}{RT})} = e^{\frac{E_{a,NE} - E_{a,E}}{RT}}$

Выражение в показателе степени $E_{a,NE} - E_{a,E}$ есть не что иное, как данная в условии разница энергий активации $\Delta E_a$. Ферментативный путь является каталитическим, поэтому его энергия активации ниже, и $\Delta E_a$ — положительная величина.

$\frac{v_E}{v_{NE}} = e^{\frac{\Delta E_a}{RT}}$

Подставим числовые значения, используя данные в системе СИ:

$\frac{v_E}{v_{NE}} = e^{\frac{26000 \text{ Дж/моль}}{8,314 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)} \cdot 298 \text{ К}}} \approx e^{\frac{26000}{2477,572}} \approx e^{10,494}$

Вычислим значение:

$e^{10,494} \approx 36118$

Округлим результат до трех значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных ($26,0$ и $298$).

$\frac{v_E}{v_{NE}} \approx 36100 = 3,61 \cdot 10^4$

Ответ: скорость ферментативной реакции больше скорости неферментативной в $3,61 \cdot 10^4$ раз.

11.277. В течение всей реакции скорость разложения вещества составляет 5% в минуту. Чему равен порядок реакции и какова константа скорости?

Дано:

Относительная скорость разложения вещества: 5% в минуту.

Перевод в СИ:
Доля разложения = $5\% = 0.05$
Временной интервал: $\Delta t = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$
Относительная скорость = $\frac{0.05}{1 \text{ мин}} = 0.05 \text{ мин}^{-1} = \frac{0.05}{60 \text{ с}} \approx 8.33 \times 10^{-4} \text{ с}^{-1}$

Найти:

Порядок реакции $n$ - ?
Константа скорости $k$ - ?

Решение:

Скорость химической реакции $v$ определяется как скорость изменения концентрации реагента $C$ во времени $t$: $v = -\frac{dC}{dt}$.
Условие, что "скорость разложения вещества составляет 5% в минуту", означает, что относительная скорость разложения (отношение скорости реакции к текущей концентрации) является постоянной величиной на протяжении всей реакции.
$\frac{v}{C} = \frac{5\% \text{ от } C \text{ в минуту}}{C} = 0.05 \text{ мин}^{-1} = \text{const}$

Порядок реакции
Общее кинетическое уравнение (закон действующих масс) для реакции с одним реагентом имеет вид:
$v = k C^n$
где $k$ — константа скорости, $C$ — концентрация вещества, а $n$ — порядок реакции.
Выразим относительную скорость $\frac{v}{C}$ из этого общего уравнения:
$\frac{v}{C} = \frac{k C^n}{C} = k C^{n-1}$
Из условия задачи известно, что относительная скорость $\frac{v}{C}$ является постоянной величиной ($0.05 \text{ мин}^{-1}$). При этом концентрация $C$ в ходе реакции постоянно уменьшается. Равенство $k C^{n-1} = \text{const}$ может выполняться для изменяющейся концентрации $C$ только в том случае, если показатель степени при $C$ равен нулю.
$n - 1 = 0$
$n = 1$
Следовательно, реакция имеет первый порядок.

Константа скорости
Для реакции первого порядка ($n=1$), как было показано выше, уравнение для относительной скорости принимает вид:
$\frac{v}{C} = k C^{1-1} = k C^0 = k$
Таким образом, для реакции первого порядка константа скорости $k$ численно равна постоянной относительной скорости разложения.
Из условия задачи: $\frac{v}{C} = 0.05 \text{ мин}^{-1}$.
Следовательно, константа скорости $k$ равна:
$k = 0.05 \text{ мин}^{-1}$
Для выражения константы в единицах системы СИ (секунда в минус первой степени, с⁻¹), выполним перевод единиц времени:
$k = 0.05 \text{ мин}^{-1} = 0.05 \cdot (60 \text{ с})^{-1} = \frac{0.05}{60} \text{ с}^{-1} \approx 0.000833 \text{ с}^{-1} = 8.33 \times 10^{-4} \text{ с}^{-1}$

Ответ: Порядок реакции — первый; константа скорости $k = 0.05 \text{ мин}^{-1}$ (или, в единицах СИ, $k \approx 8.33 \times 10^{-4} \text{ с}^{-1}$).

11.278. В газовой фазе некоторое вещество разлагается по реакции первого порядка. За одну минуту распадается 10% вещества при температуре 350 К и 40% при 370 К. Рассчитайте константу скорости и период полу-превращения вещества при 350 К, а также энергию активации.

Дано:

Реакция первого порядка.

$T_1 = 350 \text{ К}$

$x_1 = 10\% = 0.1$ (доля распавшегося вещества при $T_1$)

$t = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

$T_2 = 370 \text{ К}$

$x_2 = 40\% = 0.4$ (доля распавшегося вещества при $T_2$)

Универсальная газовая постоянная $R = 8.314 \text{ Дж/(моль·К)}$

Найти:

1. Константу скорости $k_1$ при $T_1=350 \text{ К}$.

2. Период полупревращения $t_{1/2}$ при $T_1=350 \text{ К}$.

3. Энергию активации $E_a$.

Решение:

1. Расчет константы скорости ($k_1$) и периода полупревращения ($t_{1/2}$) при 350 К

Для реакции первого порядка кинетическое уравнение в интегральной форме имеет вид:

$k = \frac{1}{t} \ln{\frac{C_0}{C}}$

где $C_0$ – начальная концентрация вещества, $C$ – концентрация вещества в момент времени $t$.

При температуре $T_1 = 350 \text{ К}$ за время $t = 60 \text{ с}$ распадается 10% вещества ($x_1=0.1$). Это означает, что концентрация вещества в момент времени $t$ составляет $C_1 = C_0 \cdot (1 - 0.1) = 0.9 \cdot C_0$.

Подставим эти значения в уравнение для расчета константы скорости $k_1$:

$k_1 = \frac{1}{60} \ln{\frac{C_0}{0.9 \cdot C_0}} = \frac{1}{60} \ln{\frac{1}{0.9}} \approx \frac{0.10536}{60} \approx 0.001756 \text{ с}^{-1}$

Период полупревращения для реакции первого порядка связан с константой скорости соотношением:

$t_{1/2} = \frac{\ln{2}}{k}$

Рассчитаем период полупревращения при $T_1 = 350 \text{ К}$:

$t_{1/2}(350 \text{ К}) = \frac{\ln{2}}{k_1} \approx \frac{0.6931}{0.001756} \approx 394.7 \text{ с}$

Ответ: Константа скорости при 350 К равна $0.001756 \text{ с}^{-1}$, период полупревращения составляет $394.7 \text{ с}$ (примерно 6.6 минут).

2. Расчет энергии активации ($E_a$)

Для расчета энергии активации необходимо знать константы скорости при двух разных температурах. Мы уже нашли $k_1$ при $T_1=350 \text{ К}$. Теперь найдем константу скорости $k_2$ при $T_2 = 370 \text{ К}$.

При $T_2 = 370 \text{ К}$ за $t = 60 \text{ с}$ распадается 40% вещества ($x_2=0.4$). Концентрация вещества в этот момент времени: $C_2 = C_0 \cdot (1 - 0.4) = 0.6 \cdot C_0$.

Рассчитаем константу скорости $k_2$:

$k_2 = \frac{1}{60} \ln{\frac{C_0}{0.6 \cdot C_0}} = \frac{1}{60} \ln{\frac{1}{0.6}} \approx \frac{0.5108}{60} \approx 0.008514 \text{ с}^{-1}$

Энергию активации находим, используя уравнение Аррениуса в интегральной форме:

$\ln{\frac{k_2}{k_1}} = \frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right) = \frac{E_a}{R} \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2}$

Выразим отсюда энергию активации $E_a$:

$E_a = R \cdot \ln{\frac{k_2}{k_1}} \cdot \frac{T_1 T_2}{T_2 - T_1}$

Подставим известные значения:

$E_a = 8.314 \frac{\text{Дж}}{\text{моль·К}} \cdot \ln{\frac{0.008514}{0.001756}} \cdot \frac{350 \text{ К} \cdot 370 \text{ К}}{370 \text{ К} - 350 \text{ К}}$

$E_a = 8.314 \cdot \ln{4.8485} \cdot \frac{129500}{20}$

$E_a \approx 8.314 \cdot 1.5786 \cdot 6475 \approx 85012 \text{ Дж/моль}$

Переведем в килоджоули на моль:

$E_a \approx 85.0 \text{ кДж/моль}$

Ответ: Энергия активации реакции составляет примерно $85.0 \text{ кДж/моль}$.

11.279. Вещества С и D распадаются согласно кинетике первого порядка. Период полураспада вещества С равен 66 мин, а вещества D – 22 мин. Начальные концентрации С и D равны. Через какое время концентрация С окажется в 3 раза больше концентрации D?

Дано:

Реакции распада веществ C и D являются реакциями первого порядка.

Период полураспада вещества C: $t_{1/2, C} = 66 \text{ мин}$

Период полураспада вещества D: $t_{1/2, D} = 22 \text{ мин}$

Начальные концентрации равны: $[C]_0 = [D]_0$

В искомый момент времени $t$ должно выполняться условие: $[C]_t = 3 \cdot [D]_t$

Найти:

Время $t$, через которое концентрация вещества C будет в 3 раза больше концентрации вещества D.

Решение:

Кинетическое уравнение для реакции первого порядка, описывающее изменение концентрации вещества со временем, имеет вид:

$[A]_t = [A]_0 \cdot e^{-kt}$

где $[A]_0$ — начальная концентрация вещества, $[A]_t$ — концентрация вещества в момент времени $t$, а $k$ — константа скорости реакции.

Константа скорости реакции первого порядка связана с периодом полураспада $t_{1/2}$ следующим соотношением:

$k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$

Вычислим константы скорости для веществ C и D. Расчеты будем вести в минутах, поэтому константы скорости будут иметь размерность мин⁻¹.

Для вещества C:

$k_C = \frac{\ln 2}{t_{1/2, C}} = \frac{\ln 2}{66} \text{ мин}^{-1}$

Для вещества D:

$k_D = \frac{\ln 2}{t_{1/2, D}} = \frac{\ln 2}{22} \text{ мин}^{-1}$

Теперь запишем выражения для концентраций веществ C и D в момент времени $t$, обозначив их равные начальные концентрации как $C_0$:

$[C]_t = C_0 \cdot e^{-k_C t} = C_0 \cdot e^{-\frac{\ln 2}{66} t}$

$[D]_t = C_0 \cdot e^{-k_D t} = C_0 \cdot e^{-\frac{\ln 2}{22} t}$

Согласно условию задачи, в искомый момент времени $t$ выполняется равенство $[C]_t = 3 \cdot [D]_t$. Подставим в него выражения для концентраций:

$C_0 \cdot e^{-\frac{\ln 2}{66} t} = 3 \cdot C_0 \cdot e^{-\frac{\ln 2}{22} t}$

Сократим начальную концентрацию $C_0$:

$e^{-\frac{\ln 2}{66} t} = 3 \cdot e^{-\frac{\ln 2}{22} t}$

Для решения этого уравнения прологарифмируем обе его части по основанию $e$ (натуральный логарифм):

$\ln(e^{-\frac{\ln 2}{66} t}) = \ln(3 \cdot e^{-\frac{\ln 2}{22} t})$

Используя свойство логарифма произведения $\ln(a \cdot b) = \ln a + \ln b$, получаем:

$-\frac{\ln 2}{66} t = \ln 3 + \ln(e^{-\frac{\ln 2}{22} t})$

$-\frac{\ln 2}{66} t = \ln 3 - \frac{\ln 2}{22} t$

Перенесем члены, содержащие $t$, в левую часть уравнения, а $\ln 3$ оставим в правой:

$\frac{\ln 2}{22} t - \frac{\ln 2}{66} t = \ln 3$

Вынесем общий множитель $t \cdot \ln 2$ за скобки:

$t \cdot \ln 2 \left( \frac{1}{22} - \frac{1}{66} \right) = \ln 3$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 66:

$t \cdot \ln 2 \left( \frac{3}{66} - \frac{1}{66} \right) = \ln 3$

$t \cdot \ln 2 \left( \frac{2}{66} \right) = \ln 3$

$t \cdot \ln 2 \left( \frac{1}{33} \right) = \ln 3$

Выразим время $t$:

$t = \frac{33 \cdot \ln 3}{\ln 2}$

Подставим числовые значения для натуральных логарифмов ($\ln 3 \approx 1.0986$, $\ln 2 \approx 0.6931$):

$t \approx \frac{33 \cdot 1.0986}{0.6931} \approx \frac{36.2538}{0.6931} \approx 52.3067 \text{ мин}$

Округлим результат до одного знака после запятой.

Ответ: $t \approx 52,3 \text{ мин.}$

11.280. Вещества Q и R распадаются согласно кинетике первого порядка. Период полураспада вещества Q равен 220 мин, а вещества R – 22 мин. Начальные концентрации Q и R равны. Через какое время концентрация Q окажется в 10 раз больше концентрации R?

Дано:

$T_{1/2, Q} = 220 \text{ мин}$
$T_{1/2, R} = 22 \text{ мин}$
$[Q]_0 = [R]_0$
$\frac{[Q]_t}{[R]_t} = 10$

Найти:

$t$

Решение:

Распад веществ Q и R подчиняется кинетике первого порядка. Уравнение, описывающее изменение концентрации со временем для реакции первого порядка, имеет вид: $$[C]_t = [C]_0 \cdot e^{-kt}$$ где $[C]_t$ — концентрация вещества в момент времени $t$, $[C]_0$ — начальная концентрация, а $k$ — константа скорости реакции.

Константа скорости $k$ связана с периодом полураспада $T_{1/2}$ следующим соотношением: $$k = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}}$$

Запишем кинетические уравнения для распада каждого вещества: $$[Q]_t = [Q]_0 \cdot e^{-k_Q t}$$ $$[R]_t = [R]_0 \cdot e^{-k_R t}$$ где $k_Q$ и $k_R$ — константы скорости распада веществ Q и R.

Вычислим значения этих констант: $$k_Q = \frac{\ln(2)}{T_{1/2, Q}} = \frac{\ln(2)}{220 \text{ мин}}$$ $$k_R = \frac{\ln(2)}{T_{1/2, R}} = \frac{\ln(2)}{22 \text{ мин}}$$

Согласно условию задачи, в искомый момент времени $t$ концентрация вещества Q будет в 10 раз больше концентрации вещества R: $$[Q]_t = 10 \cdot [R]_t$$ Подставим в это равенство выражения для концентраций: $$[Q]_0 \cdot e^{-k_Q t} = 10 \cdot [R]_0 \cdot e^{-k_R t}$$

Поскольку начальные концентрации веществ равны ($[Q]_0 = [R]_0$), мы можем сократить их в уравнении: $$e^{-k_Q t} = 10 \cdot e^{-k_R t}$$

Для того чтобы найти $t$, преобразуем уравнение. Разделим обе части на $e^{-k_R t}$: $$\frac{e^{-k_Q t}}{e^{-k_R t}} = 10$$ Используя свойство степеней, получаем: $$e^{-k_Q t - (-k_R t)} = 10$$ $$e^{(k_R - k_Q)t} = 10$$

Теперь прологарифмируем обе части уравнения по основанию $e$ (натуральный логарифм): $$\ln(e^{(k_R - k_Q)t}) = \ln(10)$$ $$(k_R - k_Q)t = \ln(10)$$ Отсюда выразим время $t$: $$t = \frac{\ln(10)}{k_R - k_Q}$$

Подставим в это выражение формулы для констант скоростей: $$t = \frac{\ln(10)}{\frac{\ln(2)}{22} - \frac{\ln(2)}{220}} = \frac{\ln(10)}{\ln(2) \left(\frac{1}{22} - \frac{1}{220}\right)}$$ Выполним вычитание дробей в знаменателе: $$t = \frac{\ln(10)}{\ln(2) \left(\frac{10}{220} - \frac{1}{220}\right)} = \frac{\ln(10)}{\ln(2) \left(\frac{9}{220}\right)}$$ $$t = \frac{220 \cdot \ln(10)}{9 \cdot \ln(2)}$$

Осталось вычислить численное значение, используя значения $\ln(10) \approx 2.3026$ и $\ln(2) \approx 0.6931$: $$t = \frac{220 \cdot 2.3026}{9 \cdot 0.6931} \approx \frac{506.572}{6.2379} \approx 81.2 \text{ мин}$$

Ответ: через 81.2 мин.

11.281. В реакцию второго порядка вступило вещество массой 25 г. Через 5 мин осталось 20 г вещества. Через сколько минут после начала реакции останется 16 г вещества?

Дано

$m_0 = 25$ г
$t_1 = 5$ мин
$m_1 = 20$ г
$m_2 = 16$ г
Реакция второго порядка

Найти:

$t_2$ - ?

Решение

Кинетическое уравнение для реакции второго порядка в интегральной форме имеет вид:

$ \frac{1}{C_t} - \frac{1}{C_0} = kt $

где $C_0$ — начальная концентрация вещества, $C_t$ — концентрация вещества в момент времени $t$, а $k$ — константа скорости реакции.

Концентрация вещества $C$ прямо пропорциональна его массе $m$ (при постоянном объеме $V$ и молярной массе $M$): $C = \frac{m}{MV}$. Подставим это соотношение в кинетическое уравнение:

$ \frac{1}{m_t / (MV)} - \frac{1}{m_0 / (MV)} = kt $

$ MV \left( \frac{1}{m_t} - \frac{1}{m_0} \right) = kt $

Величины $M$ и $V$ являются константами, поэтому их можно объединить с константой $k$ в одну эффективную константу $k_{эфф} = \frac{k}{MV}$. Уравнение примет вид, связывающий массу и время:

$ \frac{1}{m_t} - \frac{1}{m_0} = k_{эфф} \cdot t $

Сначала найдем значение эффективной константы скорости $k_{эфф}$, используя данные для первых 5 минут реакции.

$m_0 = 25$ г, $m_1 = 20$ г при $t_1 = 5$ мин.

$ \frac{1}{20} - \frac{1}{25} = k_{эфф} \cdot 5 $

$ \frac{5 - 4}{100} = 5k_{эфф} $

$ \frac{1}{100} = 5k_{эфф} $

$ k_{эфф} = \frac{1}{500} $ г⁻¹⋅мин⁻¹

Теперь, зная $k_{эфф}$, мы можем рассчитать время $t_2$, за которое масса вещества уменьшится с 25 г до 16 г.

$m_0 = 25$ г, $m_2 = 16$ г.

$ \frac{1}{16} - \frac{1}{25} = k_{эфф} \cdot t_2 $

$ \frac{1}{16} - \frac{1}{25} = \frac{1}{500} \cdot t_2 $

$ \frac{25 - 16}{16 \cdot 25} = \frac{t_2}{500} $

$ \frac{9}{400} = \frac{t_2}{500} $

Выразим $t_2$:

$ t_2 = \frac{9 \cdot 500}{400} = \frac{9 \cdot 5}{4} = \frac{45}{4} = 11,25 $ мин

Ответ: 11,25 минут.