Страница 333 - гдз по химии 10-11 класс задачник Еремин, Дроздов

11.254. Реакция инверсии тростникового сахара имеет первый порядок. Константа скорости при определённой температуре равна 0,0051 ${\mathrm{мин}}^{-1}.$ За сколько минут гидролизуется 75% сахара?

Дано:

Порядок реакции: 1

Константа скорости реакции, $k = 0,0051$ мин⁻¹

Степень гидролиза сахара, $\alpha = 75\% = 0,75$

Найти:

Время гидролиза, $t$ - ?

Решение:

Реакция инверсии тростникового сахара является реакцией первого порядка. Кинетическое уравнение для реакции первого порядка в интегральной форме имеет вид:

$k = \frac{1}{t} \ln{\frac{C_0}{C_t}}$

где $k$ – константа скорости реакции, $t$ – время реакции, $C_0$ – начальная концентрация сахара, а $C_t$ – концентрация сахара в момент времени $t$.

Выразим из этого уравнения время $t$:

$t = \frac{1}{k} \ln{\frac{C_0}{C_t}}$

По условию задачи гидролизуется 75% сахара. Это означает, что к моменту времени $t$ прореагировало 0,75 от начального количества сахара. Следовательно, концентрация оставшегося (непрореагировавшего) сахара $C_t$ составляет:

$C_t = C_0 - 0,75 \cdot C_0 = (1 - 0,75) \cdot C_0 = 0,25 \cdot C_0$

Теперь подставим это соотношение в уравнение для времени:

$t = \frac{1}{k} \ln{\frac{C_0}{0,25 \cdot C_0}} = \frac{1}{k} \ln{\frac{1}{0,25}} = \frac{1}{k} \ln{4}$

Подставим числовое значение константы скорости $k = 0,0051$ мин⁻¹ и значение натурального логарифма $\ln{4} \approx 1,3863$:

$t \approx \frac{1,3863}{0,0051} \approx 271,82$ мин.

Округлим результат до одного знака после запятой.

Ответ: 271,8 мин.

11.255. Гидролиз цисплатины в водном растворе является реакцией первого порядка с константой скорости $0,35 {\mathrm{ч}}^{-1}.$ За сколько часов гидролизуется 75% цисплатины?

Дано:

Тип реакции: первого порядка

Константа скорости реакции, $k = 0,35 \text{ ч}^{-1}$

Степень превращения (доля прогидролизовавшего цисплатина) = 75%

Найти:

Время реакции, $t$

Решение:

Для реакции первого порядка зависимость концентрации реагента от времени описывается следующим кинетическим уравнением в интегральной форме:

$\ln{\frac{C_0}{C}} = k \cdot t$

где:

$C_0$ — начальная концентрация цисплатины;

$C$ — концентрация цисплатины в момент времени $t$;

$k$ — константа скорости реакции ($0,35 \text{ ч}^{-1}$);

$t$ — время реакции (в часах).

Согласно условию, 75% цисплатины гидролизуется. Это означает, что концентрация непрореагировавшего вещества $C$ составляет 100% - 75% = 25% от начальной концентрации $C_0$.

Математически это можно записать как:

$C = (1 - 0,75) \cdot C_0 = 0,25 \cdot C_0$

Отсюда находим отношение концентраций:

$\frac{C_0}{C} = \frac{C_0}{0,25 \cdot C_0} = \frac{1}{0,25} = 4$

Теперь выразим время $t$ из кинетического уравнения и подставим в него известные величины:

$t = \frac{1}{k} \cdot \ln{\frac{C_0}{C}}$

$t = \frac{1}{0,35 \text{ ч}^{-1}} \cdot \ln{4}$

Значение натурального логарифма от 4 примерно равно 1,3863.

$t \approx \frac{1,3863}{0,35} \text{ ч} \approx 3,96 \text{ ч}$

Ответ: 75% цисплатины гидролизуется за 3,96 часа.

11.256. В реакцию первого порядка вступило вещество массой 120 г. Через 2 мин осталось 60 г вещества. Сколько граммов вещества останется через 6 мин после начала реакции?

Дано:

Реакция первого порядка
Начальная масса вещества, $m_0 = 120$ г
Время 1, $t_1 = 2$ мин
Масса вещества через время $t_1$, $m_1 = 60$ г
Время 2, $t_2 = 6$ мин

Найти:

$m_2$ - масса вещества, которая останется через 6 мин.

Решение:

Для реакции первого порядка количество оставшегося вещества со временем изменяется по экспоненциальному закону. Удобной характеристикой таких реакций является период полураспада.

Период полураспада ($t_{1/2}$) — это время, в течение которого количество реагента уменьшается вдвое. Из условия задачи мы видим, что начальная масса вещества была 120 г, а через 2 минуты она стала равна 60 г.

$\frac{m_1}{m_0} = \frac{60 \text{ г}}{120 \text{ г}} = \frac{1}{2}$

Это означает, что время, за которое масса уменьшилась вдвое, равно 2 минутам. Следовательно, период полураспада этой реакции равен:

$t_{1/2} = t_1 = 2 \text{ мин}$

Теперь необходимо определить, сколько вещества останется через 6 минут после начала реакции. Для этого найдем, сколько периодов полураспада укладывается в этот промежуток времени:

$n = \frac{t_2}{t_{1/2}} = \frac{6 \text{ мин}}{2 \text{ мин}} = 3$

За 6 минут пройдет 3 периода полураспада. За каждый период полураспада масса вещества уменьшается в 2 раза. Таким образом, за 3 периода полураспада масса уменьшится в $2^n = 2^3 = 8$ раз.

Масса вещества, которая останется через 6 минут ($m_2$), будет равна:

$m_2 = \frac{m_0}{2^n} = \frac{120 \text{ г}}{2^3} = \frac{120 \text{ г}}{8} = 15 \text{ г}$

Ответ: через 6 мин после начала реакции останется 15 г вещества.

11.257. В реакцию первого порядка вступило вещество массой 25 г. Через 5 мин после начала реакции осталось 20 г вещества. Сколько вещества останется через: а) 10 мин; б) 15 мин после начала реакции?

Дано:

Начальная масса вещества, $m_0 = 25$ г
Время 1, $t_1 = 5$ мин
Масса вещества в момент $t_1$, $m_1 = 20$ г
Время 2, $t_а = 10$ мин
Время 3, $t_б = 15$ мин

Перевод в систему СИ:

$m_0 = 0.025$ кг
$m_1 = 0.020$ кг
$t_1 = 300$ с
$t_а = 600$ с
$t_б = 900$ с

Найти:

$m_а$ - массу вещества через 10 мин
$m_б$ - массу вещества через 15 мин

Решение:

Поскольку реакция первого порядка, ее скорость пропорциональна концентрации (или массе, при постоянном объеме) реагирующего вещества. Кинетическое уравнение для реакции первого порядка в интегральной форме имеет вид:

$ln(\frac{m_0}{m_t}) = k \cdot t$

где $m_0$ - начальная масса вещества, $m_t$ - масса вещества в момент времени $t$, а $k$ - константа скорости реакции.

Сначала найдем константу скорости реакции $k$, используя данные для первых 5 минут. Для удобства расчетов можно оставить время в минутах.

$k = \frac{1}{t_1} \cdot ln(\frac{m_0}{m_1}) = \frac{1}{5 \text{ мин}} \cdot ln(\frac{25 \text{ г}}{20 \text{ г}}) = \frac{1}{5} \cdot ln(1.25) \text{ мин}^{-1}$

Теперь, зная константу скорости, мы можем найти массу вещества в любой другой момент времени.

а) 10 мин

Найдем массу вещества $m_а$, которая останется через 10 минут.

$ln(\frac{m_0}{m_а}) = k \cdot t_а$

Подставим известные значения $m_0$, $k$ и $t_а$:

$ln(\frac{25}{m_а}) = (\frac{ln(1.25)}{5}) \cdot 10 = 2 \cdot ln(1.25)$

Используя свойство логарифма $a \cdot ln(b) = ln(b^a)$, получаем:

$ln(\frac{25}{m_а}) = ln(1.25^2)$

Отсюда следует:

$\frac{25}{m_а} = 1.25^2 = 1.5625$

$m_а = \frac{25}{1.5625} = 16$ г

Другой способ: Для реакции первого порядка за равные промежутки времени доля прореагировавшего вещества одинакова. За первые 5 минут доля оставшегося вещества составляет $\frac{20}{25} = 0.8$. Следовательно, через следующие 5 минут (т.е. через 10 минут от начала) останется 0.8 от массы, которая была в момент 5 минут:

$m_а = m_1 \cdot 0.8 = 20 \text{ г} \cdot 0.8 = 16$ г.

Ответ: через 10 минут останется 16 г вещества.

б) 15 мин

Найдем массу вещества $m_б$, которая останется через 15 минут.

$ln(\frac{m_0}{m_б}) = k \cdot t_б$

Подставим известные значения:

$ln(\frac{25}{m_б}) = (\frac{ln(1.25)}{5}) \cdot 15 = 3 \cdot ln(1.25)$

$ln(\frac{25}{m_б}) = ln(1.25^3)$

$\frac{25}{m_б} = 1.25^3 \approx 1.953125$

$m_б = \frac{25}{1.953125} = 12.8$ г

Другой способ: Масса через 15 минут будет в 0.8 раза меньше массы, которая была через 10 минут:

$m_б = m_а \cdot 0.8 = 16 \text{ г} \cdot 0.8 = 12.8$ г.

Ответ: через 15 минут останется 12,8 г вещества.

11.258. В реакции первого порядка за 10 мин разложилось 40% вещества. Сколько процентов вещества разложится за 20 мин?

Дано:

Тип реакции: реакция первого порядка
Время $t_1 = 10 \text{ мин}$
Доля разложившегося вещества за время $t_1$: $x_1 = 40\%$
Время $t_2 = 20 \text{ мин}$

Перевод в систему СИ:

$t_1 = 10 \text{ мин} = 10 \cdot 60 \text{ с} = 600 \text{ с}$
$t_2 = 20 \text{ мин} = 20 \cdot 60 \text{ с} = 1200 \text{ с}$

Найти:

$x_2$ — процент вещества, который разложится за время $t_2$.

Решение:

Кинетическое уравнение для реакции первого порядка связывает концентрацию вещества со временем:

$\ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right) = -kt$

где $N_0$ — начальное количество вещества, $N_t$ — количество вещества в момент времени $t$, а $k$ — константа скорости реакции.

По условию, за $t_1 = 10 \text{ мин}$ разложилось 40% вещества. Это значит, что к этому моменту осталось $100\% - 40\% = 60\%$ вещества. Таким образом, доля оставшегося вещества $\frac{N_1}{N_0}$ составляет $0.6$.

Подставим эти значения в уравнение для момента времени $t_1$:

$\ln(0.6) = -k \cdot 10$

Теперь рассмотрим момент времени $t_2 = 20 \text{ мин}$. Нам нужно найти долю вещества $\frac{N_2}{N_0}$, которая останется к этому времени.

$\ln\left(\frac{N_2}{N_0}\right) = -k \cdot t_2 = -k \cdot 20$

Заметим, что $t_2 = 2 \cdot t_1$. Выразим второе уравнение через первое:

$\ln\left(\frac{N_2}{N_0}\right) = -k \cdot (2 \cdot 10) = 2 \cdot (-k \cdot 10)$

Поскольку $-k \cdot 10 = \ln(0.6)$, мы можем подставить это выражение:

$\ln\left(\frac{N_2}{N_0}\right) = 2 \cdot \ln(0.6)$

Используя свойство логарифмов $a \cdot \ln(b) = \ln(b^a)$, получаем:

$\ln\left(\frac{N_2}{N_0}\right) = \ln(0.6^2)$

Отсюда следует, что доли равны:

$\frac{N_2}{N_0} = 0.6^2 = 0.36$

Это означает, что через 20 минут останется $0.36$ или $36\%$ от начального количества вещества.

Процент разложившегося вещества $x_2$ найдем как разность между начальным (100%) и оставшимся количеством:

$x_2 = 100\% - 36\% = 64\%$

Ответ: за 20 мин разложится 64% вещества.

11.259. В реакции разложения первого порядка 1% реагента распадается за 10 с. За какое время распадётся 99% вещества?

Дано:

Доля распавшегося реагента $x_1 = 1\% = 0.01$

Время распада $t_1 = 10$ с

Доля распавшегося вещества для второго случая $x_2 = 99\% = 0.99$

Порядок реакции $n=1$

Найти:

Время распада $t_2$ - ?

Решение:

Поскольку реакция разложения является реакцией первого порядка, ее скорость описывается кинетическим уравнением:

$ln\left(\frac{C_0}{C}\right) = k \cdot t$

где $C_0$ — начальная концентрация вещества, $C$ — концентрация вещества в момент времени $t$, $k$ — константа скорости реакции.

Если распалась доля вещества $x$, то оставшаяся доля составляет $(1-x)$. Таким образом, концентрацию в момент времени $t$ можно выразить через начальную концентрацию: $C = C_0 \cdot (1-x)$.

Подставим это выражение в кинетическое уравнение:

$ln\left(\frac{C_0}{C_0 \cdot (1-x)}\right) = k \cdot t$

$ln\left(\frac{1}{1-x}\right) = k \cdot t$

Сначала используем данные для первого случая, чтобы найти константу скорости реакции $k$.

При $t_1 = 10$ с распалось $x_1 = 0.01$ вещества:

$ln\left(\frac{1}{1 - 0.01}\right) = k \cdot 10$

$ln\left(\frac{1}{0.99}\right) = 10k$

Отсюда выразим константу скорости $k$:

$k = \frac{ln(1/0.99)}{10}$

Теперь используем найденное выражение для $k$, чтобы определить время $t_2$, за которое распадется $x_2 = 0.99$ вещества.

$ln\left(\frac{1}{1 - 0.99}\right) = k \cdot t_2$

$ln\left(\frac{1}{0.01}\right) = k \cdot t_2$

$ln(100) = k \cdot t_2$

Подставим выражение для $k$ в это уравнение:

$ln(100) = \frac{ln(1/0.99)}{10} \cdot t_2$

Выразим искомое время $t_2$:

$t_2 = \frac{10 \cdot ln(100)}{ln(1/0.99)} = \frac{10 \cdot ln(100)}{-ln(0.99)}$

Используя значения натуральных логарифмов $ln(100) \approx 4.60517$ и $ln(0.99) \approx -0.01005$:

$t_2 \approx \frac{10 \cdot 4.60517}{-(-0.01005)} = \frac{46.0517}{0.01005} \approx 4582.26$ с

Округлим результат до целого числа.

$t_2 \approx 4582$ с

Ответ: 4582 с (или примерно 76.4 минуты).

11.260. В реакции первого порядка 50% вещества распадается за 20 мин. За какое время распадается 25% вещества?

Дано

Реакция первого порядка
Время распада 50% вещества ($t_{1/2}$) = 20 мин
Процент распада = 25%

Найти:

$t_{25\%}$ - ?

Решение

Кинетическое уравнение для реакции первого порядка в интегральной форме имеет вид:

$ln(\frac{N_0}{N}) = k \cdot t$

где $N_0$ – начальное количество вещества, $N$ – количество вещества в момент времени $t$, $k$ – константа скорости реакции.

Период полураспада ($t_{1/2}$) – это время, за которое распадается 50% вещества, то есть количество оставшегося вещества составляет $N = 0.5 \cdot N_0$.

Подставим это в уравнение:

$ln(\frac{N_0}{0.5 \cdot N_0}) = k \cdot t_{1/2}$

$ln(2) = k \cdot t_{1/2}$

Из этого соотношения можно выразить константу скорости реакции $k$ через известный период полураспада:

$k = \frac{ln(2)}{t_{1/2}}$

Подставим значение $t_{1/2} = 20$ мин:

$k = \frac{ln(2)}{20}$ мин$^{-1}$

Теперь необходимо найти время $t_{25\%}$, за которое распадается 25% вещества. Если 25% вещества распалось, то в системе осталось $100\% - 25\% = 75\%$ от начального количества. Таким образом, $N = 0.75 \cdot N_0$.

Снова используем основное кинетическое уравнение:

$ln(\frac{N_0}{0.75 \cdot N_0}) = k \cdot t_{25\%}$

$ln(\frac{1}{0.75}) = k \cdot t_{25\%}$

$ln(\frac{4}{3}) = k \cdot t_{25\%}$

Выразим искомое время $t_{25\%}$ и подставим ранее найденное выражение для константы скорости $k$:

$t_{25\%} = \frac{ln(4/3)}{k} = \frac{ln(4/3)}{\frac{ln(2)}{20}} = 20 \cdot \frac{ln(4/3)}{ln(2)}$

Выполним вычисления, используя значения натуральных логарифмов ($ln(4/3) \approx 0.2877$, $ln(2) \approx 0.6931$):

$t_{25\%} \approx 20 \cdot \frac{0.2877}{0.6931} \approx 20 \cdot 0.4151 \approx 8.3$ мин

Ответ: 8.3 мин.

11.261. Разложение сложного эфира ${\mathrm{CH}}_3{\mathrm{COOC}}_2{\mathrm{H}}_5$ при нагревании – реакция первого порядка. Образец эфира массой 66 г нагрели до температуры реакции, и через 42 мин масса исходного вещества составила 8,25 г. Рассчитайте период полупревращения эфира.

Дано:
Реакция разложения CH₃COOC₂H₅ — первого порядка.
Начальная масса эфира, $m_0 = 66$ г.
Время реакции, $t = 42$ мин.
Масса эфира через 42 мин, $m_t = 8,25$ г.

Найти:
Период полупревращения эфира, $t_{1/2}$.

Решение:
Кинетическое уравнение для реакции первого порядка имеет вид: $ln\frac{C_0}{C_t} = kt$ где $C_0$ — начальная концентрация, $C_t$ — концентрация в момент времени $t$, $k$ — константа скорости реакции.

Поскольку для данного вещества в одном и том же объеме концентрация прямо пропорциональна массе ($C = \frac{n}{V} = \frac{m}{M \cdot V}$), мы можем использовать массы вместо концентраций в уравнении: $ln\frac{m_0}{m_t} = kt$

Из этого уравнения можно выразить константу скорости $k$: $k = \frac{1}{t} ln\frac{m_0}{m_t}$

Период полупревращения ($t_{1/2}$) для реакции первого порядка связан с константой скорости следующим соотношением: $t_{1/2} = \frac{ln(2)}{k}$

Подставим выражение для $k$ в формулу для $t_{1/2}$: $t_{1/2} = \frac{ln(2)}{\frac{1}{t} ln\frac{m_0}{m_t}} = t \cdot \frac{ln(2)}{ln\frac{m_0}{m_t}}$

Подставим числовые значения из условия задачи: $t = 42$ мин, $m_0 = 66$ г, $m_t = 8,25$ г.

Сначала рассчитаем отношение масс: $\frac{m_0}{m_t} = \frac{66}{8,25} = 8$

Теперь подставим это значение в формулу для периода полупревращения: $t_{1/2} = 42 \cdot \frac{ln(2)}{ln(8)}$

Используя свойство логарифма $ln(a^b) = b \cdot ln(a)$, преобразуем $ln(8)$: $ln(8) = ln(2^3) = 3 \cdot ln(2)$

Подставим это выражение обратно в формулу: $t_{1/2} = 42 \cdot \frac{ln(2)}{3 \cdot ln(2)}$

Сократим $ln(2)$: $t_{1/2} = \frac{42}{3} = 14$ мин

Ответ: период полупревращения эфира составляет 14 минут.

11.262. Скорость реакции между газообразными веществами А и В возрастает в 8 раз при увеличении общего давления в 4 раза и возрастает в 2 раза, если давление вещества В увеличить в 4 раза, а давление А оставить неизменным. Определите кинетические порядки реакции по веществам А и В.

Дано:

Реакция между газообразными веществами А и В.
1. Увеличение скорости реакции в 8 раз при увеличении общего давления в 4 раза.
2. Увеличение скорости реакции в 2 раза при увеличении давления вещества В в 4 раза и постоянном давлении вещества А.

Найти:

Кинетический порядок реакции по веществу А - $x$
Кинетический порядок реакции по веществу B - $y$

Решение:

Закон действия масс для данной реакции можно выразить через кинетическое уравнение. Поскольку реакция протекает в газовой фазе, концентрации реагентов пропорциональны их парциальным давлениям. Таким образом, уравнение скорости реакции имеет вид:$v = k \cdot p_A^x \cdot p_B^y$где $v$ — скорость реакции, $k$ — константа скорости, $p_A$ и $p_B$ — парциальные давления веществ А и В, а $x$ и $y$ — искомые кинетические порядки реакции по веществам А и В соответственно.

Сначала воспользуемся вторым условием задачи. При увеличении давления вещества В в 4 раза ($p_{B2} = 4p_{B1}$) при постоянном давлении вещества А ($p_{A2} = p_{A1}$) скорость реакции увеличивается в 2 раза ($v_2 = 2v_1$).Запишем отношение скоростей для начального и конечного состояний:$\frac{v_2}{v_1} = \frac{k \cdot p_{A2}^x \cdot p_{B2}^y}{k \cdot p_{A1}^x \cdot p_{B1}^y}$Подставим известные соотношения:$\frac{2v_1}{v_1} = \frac{k \cdot p_{A1}^x \cdot (4p_{B1})^y}{k \cdot p_{A1}^x \cdot p_{B1}^y}$После сокращения получаем:$2 = \frac{p_{A1}^x \cdot 4^y \cdot p_{B1}^y}{p_{A1}^x \cdot p_{B1}^y} = 4^y$Решим полученное показательное уравнение:$2^1 = (2^2)^y$$2^1 = 2^{2y}$$1 = 2y$$y = 0.5$Таким образом, порядок реакции по веществу В равен 0,5.

Теперь рассмотрим первое условие. Увеличение общего давления в системе в 4 раза (при постоянной температуре) означает, что объем системы уменьшился в 4 раза. Это приводит к увеличению парциальных давлений каждого из компонентов (А и В) также в 4 раза.Итак, $p_{A3} = 4p_{A1}$ и $p_{B3} = 4p_{B1}$, при этом скорость реакции увеличивается в 8 раз ($v_3 = 8v_1$).Составим отношение скоростей:$\frac{v_3}{v_1} = \frac{k \cdot p_{A3}^x \cdot p_{B3}^y}{k \cdot p_{A1}^x \cdot p_{B1}^y}$Подставим известные соотношения:$\frac{8v_1}{v_1} = \frac{k \cdot (4p_{A1})^x \cdot (4p_{B1})^y}{k \cdot p_{A1}^x \cdot p_{B1}^y}$После сокращения получаем:$8 = \frac{4^x \cdot p_{A1}^x \cdot 4^y \cdot p_{B1}^y}{p_{A1}^x \cdot p_{B1}^y} = 4^x \cdot 4^y = 4^{x+y}$Решим это уравнение:$2^3 = (2^2)^{x+y}$$2^3 = 2^{2(x+y)}$$3 = 2(x+y)$$x+y = 1.5$Общий порядок реакции равен 1,5.

Теперь мы можем найти порядок реакции по веществу А, зная, что $y=0.5$ и $x+y=1.5$:$x + 0.5 = 1.5$$x = 1.5 - 0.5 = 1$Следовательно, порядок реакции по веществу А равен 1.

Ответ: кинетический порядок реакции по веществу А равен 1; кинетический порядок реакции по веществу В равен 0,5.

11.263. Средняя скорость реакции при 25 и 45 °C равна соответственно 0,04 $\mathrm{моль}/(\mathrm{л} · \mathrm{ч})$ и 0,49 $\mathrm{моль}/(\mathrm{л} · \mathrm{ч}).$ Используя правило Вант-Гоффа, найдите, при какой температуре средняя скорость реакции будет равна 0,011 $\mathrm{моль}/(\mathrm{л} · \mathrm{ч})$

Дано:

Температура $T_1 = 25^\circ\text{C}$

Средняя скорость реакции при $T_1$: $v_1 = 0.04 \text{ моль}/(\text{л}\cdot\text{ч})$

Температура $T_2 = 45^\circ\text{C}$

Средняя скорость реакции при $T_2$: $v_2 = 0.49 \text{ моль}/(\text{л}\cdot\text{ч})$

Средняя скорость реакции $v_3 = 0.011 \text{ моль}/(\text{л}\cdot\text{ч})$

Найти:

Температуру $T_3$, при которой скорость реакции будет равна $v_3$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся правилом Вант-Гоффа, которое устанавливает связь между скоростью реакции и температурой:

$v_{T_2} = v_{T_1} \cdot \gamma^{\frac{T_2 - T_1}{10}}$

где $v_{T_1}$ и $v_{T_2}$ – скорости реакции при температурах $T_1$ и $T_2$ (в градусах Цельсия), а $\gamma$ – температурный коэффициент, который показывает, во сколько раз изменяется скорость реакции при изменении температуры на 10 градусов. Для вычислений по этой формуле не требуется перевод данных в систему СИ, так как отношение скоростей не зависит от единиц их измерения, а в показателе степени используется разность температур в градусах Цельсия.

Сначала определим температурный коэффициент $\gamma$ для данной реакции, используя известные скорости при температурах $25^\circ\text{C}$ и $45^\circ\text{C}$.

$0.49 = 0.04 \cdot \gamma^{\frac{45 - 25}{10}}$

$0.49 = 0.04 \cdot \gamma^{\frac{20}{10}}$

$0.49 = 0.04 \cdot \gamma^2$

Отсюда находим $\gamma^2$:

$\gamma^2 = \frac{0.49}{0.04} = 12.25$

$\gamma = \sqrt{12.25} = 3.5$

Теперь, зная температурный коэффициент, мы можем найти температуру $T_3$, при которой скорость реакции составит $v_3 = 0.011 \text{ моль}/(\text{л}\cdot\text{ч})$. В качестве отправной точки возьмем данные при $T_1 = 25^\circ\text{C}$.

$v_3 = v_1 \cdot \gamma^{\frac{T_3 - T_1}{10}}$

$0.011 = 0.04 \cdot (3.5)^{\frac{T_3 - 25}{10}}$

Выразим степень с основанием 3.5:

$(3.5)^{\frac{T_3 - 25}{10}} = \frac{0.011}{0.04} = 0.275$

Для того чтобы найти показатель степени, необходимо прологарифмировать обе части уравнения. Используем логарифм по основанию 3.5:

$\frac{T_3 - 25}{10} = \log_{3.5}(0.275)$

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию (например, к натуральному логарифму $\ln$):

$\log_{3.5}(0.275) = \frac{\ln(0.275)}{\ln(3.5)} \approx \frac{-1.291}{1.253} \approx -1.03$

Теперь можем найти $T_3$:

$\frac{T_3 - 25}{10} \approx -1.03$

$T_3 - 25 \approx -10.3$

$T_3 \approx 25 - 10.3 = 14.7^\circ\text{C}$

Ответ: средняя скорость реакции будет равна $0.011 \text{ моль}/(\text{л}\cdot\text{ч})$ при температуре приблизительно $14.7^\circ\text{C}$.

11.264. Некоторая реакция заканчивается за 20 мин при температуре 30 °C и за 3,2 мин при температуре 50 °C. Используя правило Вант-Гоффа, рассчитайте, за какое время закончится реакция при 20 °C.

Дано:

Найти:

$t_3$ - время реакции при температуре $T_3$.

Решение:

Для решения задачи используется правило Вант-Гоффа, которое устанавливает зависимость скорости химической реакции от температуры. Математически это правило выражается следующей формулой:

$\frac{v_2}{v_1} = \gamma^{\frac{T_2 - T_1}{10}}$

где $v_1$ и $v_2$ — скорости реакции при температурах $T_1$ и $T_2$ соответственно, а $\gamma$ — температурный коэффициент скорости реакции, показывающий, во сколько раз увеличивается скорость реакции при повышении температуры на 10 °C.

Поскольку скорость реакции ($v$) обратно пропорциональна времени ($t$), за которое она завершается ($v \propto 1/t$), формулу можно переписать для времени реакции:

$\frac{t_1}{t_2} = \gamma^{\frac{T_2 - T_1}{10}}$

Решение задачи состоит из двух этапов:

1. Определение температурного коэффициента ($\gamma$).

Используем данные для температур $T_1 = 30 \text{ °C}$ (время $t_1 = 20 \text{ мин}$) и $T_2 = 50 \text{ °C}$ (время $t_2 = 3,2 \text{ мин}$).

Подставляем значения в формулу:

$\frac{20}{3,2} = \gamma^{\frac{50 - 30}{10}}$

$6,25 = \gamma^{\frac{20}{10}}$

$6,25 = \gamma^2$

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти $\gamma$:

$\gamma = \sqrt{6,25} = 2,5$

Таким образом, температурный коэффициент реакции равен 2,5.

2. Расчет времени реакции при 20 °C ($t_3$).

Теперь, зная $\gamma$, мы можем рассчитать время реакции $t_3$ при температуре $T_3 = 20 \text{ °C}$. Для расчета можно использовать данные для $T_1 = 30 \text{ °C}$ и $t_1 = 20 \text{ мин}$.

Составим соотношение для температур $T_1$ и $T_3$:

$\frac{t_1}{t_3} = \gamma^{\frac{T_3 - T_1}{10}}$

Подставим известные значения:

$\frac{20}{t_3} = 2,5^{\frac{20 - 30}{10}}$

$\frac{20}{t_3} = 2,5^{\frac{-10}{10}}$

$\frac{20}{t_3} = 2,5^{-1}$

$\frac{20}{t_3} = \frac{1}{2,5}$

Выразим $t_3$:

$t_3 = 20 \cdot 2,5 = 50 \text{ мин}$

Ответ: реакция при 20 °С закончится за 50 минут.