Номер 3.1.6, страница 80, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

3.1.6. Расстояние между гребнями волн в море $\lambda = 7$ м. При встречном движении катера волна за $t = 2$ с ударяет о корпус катера $N_1 = 3$ раза, а при попутном – $N_2 = 1$ раз. Найдите скорость катера и волны. (Ответ: $v_к = 7$ м/с; $v_в = 3,5$ м/с.)

Дано:

Расстояние между гребнями волн (длина волны), $\lambda = 7$ м.

Время наблюдения, $t = 2$ с.

Число ударов волны при встречном движении, $N_1 = 3$.

Число ударов волны при попутном движении, $N_2 = 1$.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$v_к$ — скорость катера.

$v_в$ — скорость волны.

Решение:

Обозначим искомые скорости катера и волны как $v_к$ и $v_в$ соответственно. Частота, с которой катер встречает гребни волн (частота ударов), зависит от их относительной скорости движения.

При встречном движении катер и волны движутся навстречу друг другу. Их относительная скорость равна сумме их скоростей: $v_{отн1} = v_к + v_в$. Частота встреч $f_1$ (количество гребней, проходящих мимо катера в единицу времени) связана с относительной скоростью и длиной волны соотношением $f_1 = \frac{v_{отн1}}{\lambda}$.

С другой стороны, из условия задачи, эта частота равна $f_1 = \frac{N_1}{t}$.

Приравнивая два выражения для $f_1$, получаем первое уравнение:

$\frac{v_к + v_в}{\lambda} = \frac{N_1}{t}$

$v_к + v_в = \frac{N_1 \lambda}{t} = \frac{3 \cdot 7 \text{ м}}{2 \text{ с}} = 10,5 \text{ м/с}$

При попутном движении катер и волны движутся в одном направлении. Их относительная скорость равна модулю разности их скоростей: $v_{отн2} = |v_к - v_в|$. Частота встреч в этом случае равна $f_2 = \frac{v_{отн2}}{\lambda}$.

Из условия задачи, эта частота равна $f_2 = \frac{N_2}{t}$.

Приравнивая выражения для $f_2$, получаем второе уравнение:

$\frac{|v_к - v_в|}{\lambda} = \frac{N_2}{t}$

$|v_к - v_в| = \frac{N_2 \lambda}{t} = \frac{1 \cdot 7 \text{ м}}{2 \text{ с}} = 3,5 \text{ м/с}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} v_к + v_в = 10,5 \\ |v_к - v_в| = 3,5 \end{cases}$

Раскрытие модуля приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: Скорость катера больше скорости волны ($v_к > v_в$)

Система уравнений принимает вид:

$\begin{cases} v_к + v_в = 10,5 \\ v_к - v_в = 3,5 \end{cases}$

Сложив эти два уравнения, получаем: $2v_к = 14$, откуда $v_к = 7$ м/с.

Подставив значение $v_к$ в первое уравнение, находим $v_в$: $7 + v_в = 10,5$, откуда $v_в = 3,5$ м/с.

Это решение ($v_к = 7$ м/с, $v_в = 3,5$ м/с) согласуется с предположением $v_к > v_в$.

Случай 2: Скорость волны больше скорости катера ($v_в > v_к$)

Система уравнений принимает вид:

$\begin{cases} v_к + v_в = 10,5 \\ v_в - v_к = 3,5 \end{cases}$

Сложив эти два уравнения, получаем: $2v_в = 14$, откуда $v_в = 7$ м/с.

Подставив значение $v_в$ в первое уравнение, находим $v_к$: $v_к + 7 = 10,5$, откуда $v_к = 3,5$ м/с.

Это решение ($v_к = 3,5$ м/с, $v_в = 7$ м/с) также является физически возможным и согласуется с предположением $v_в > v_к$.

Поскольку в условии задачи в скобках приведён конкретный ответ, выберем соответствующий ему первый случай.

Ответ: скорость катера $v_к = 7$ м/с, скорость волны $v_в = 3,5$ м/с.