Номер 3.1.7, страница 80, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

3.1.7. Найдите смещение от положения равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии $l = \frac{\lambda}{6}$, в момент времени $t = \frac{T}{2}$ амплитуда колебаний равна 0,1 м. (Ответ: 86,6 мм.)

Дано:

Расстояние от источника: $l = \frac{\lambda}{6}$

Момент времени: $t = \frac{T}{2}$

Амплитуда колебаний: $A = 0,1$ м

Найти:

Смещение от положения равновесия $y$

Решение:

Уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся от источника в положительном направлении оси $x$, имеет вид: $y(l, t) = A \sin(\omega t - k l + \phi_0)$, где $A$ - амплитуда, $\omega$ - угловая частота, $k$ - волновое число, $l$ - расстояние от источника, $t$ - время, $\phi_0$ - начальная фаза.

Учитывая, что $\omega = \frac{2\pi}{T}$ и $k = \frac{2\pi}{\lambda}$, уравнение можно переписать в виде: $y(l, t) = A \sin\left(2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{l}{\lambda}\right) + \phi_0\right)$

Будем считать, что колебания в источнике ($l=0$) в начальный момент времени ($t=0$) находятся в положении равновесия и начинают движение в положительном направлении, поэтому начальная фаза $\phi_0 = 0$. Уравнение примет вид: $y(l, t) = A \sin\left(2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{l}{\lambda}\right)\right)$

Подставим в это уравнение значения, данные в условии задачи: $y = A \sin\left(2\pi\left(\frac{T/2}{T} - \frac{\lambda/6}{\lambda}\right)\right)$

Упростим выражение в скобках: $y = A \sin\left(2\pi\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}\right)\right) = A \sin\left(2\pi\left(\frac{3-1}{6}\right)\right) = A \sin\left(2\pi \cdot \frac{2}{6}\right) = A \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$

Значение синуса для данного угла: $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь можем найти смещение $y$: $y = A \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим значение амплитуды $A = 0,1$ м: $y = 0,1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,1 \cdot \frac{1,732}{2} = 0,1 \cdot 0,866 = 0,0866$ м.

Переведем результат в миллиметры, умножив на 1000: $y = 0,0866 \text{ м} \cdot 1000 \frac{\text{мм}}{\text{м}} = 86,6 \text{ мм}$.

Ответ: смещение точки от положения равновесия равно 86,6 мм.