Номер 3.1.8, страница 81, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

3.1.8. К верхнему концу цилиндрического сосуда, в который постепенно наливают воду, поднесен звучащий камертон. Звук, издаваемый камертоном, заметно усиливается, когда расстояния от поверхности жидкости до верхнего края сосуда достигают значений $h_1 = 25 \text{ см}$, $h_2 = 75 \text{ см}$. Определите частоту колебаний камертона. Скорость звука принять равной $340 \text{ м/с}$. (Ответ: $340 \text{ Гц}.$)

Дано:

$h_1 = 25$ см

$h_2 = 75$ см

$v = 340$ м/с

$h_1 = 0.25$ м

$h_2 = 0.75$ м

$v = 340$ м/с

Найти:

$\nu$ - частоту колебаний камертона.

Решение:

Усиление звука происходит из-за явления акустического резонанса. Цилиндрический сосуд с водой представляет собой резонатор — воздушный столб, закрытый с одного конца (поверхностью воды) и открытый с другого (верхний край сосуда).

В таком резонаторе могут возникать стоячие звуковые волны. Условие резонанса (образования стоячей волны) для трубы, закрытой с одного конца, имеет вид:

$h = (2n - 1) \frac{\lambda}{4}$, где $h$ — длина воздушного столба, $\lambda$ — длина волны звука, а $n$ — целое число ($n = 1, 2, 3, ...$), которое определяет номер гармоники (обертона).

При длине $h_1$ наблюдается первый резонанс, а при $h_2$ — следующий. Это означает, что они соответствуют двум последовательным значениям $n$.

Пусть первому резонансу при $h_1$ соответствует номер гармоники $n$, тогда:

$h_1 = (2n - 1) \frac{\lambda}{4}$

Следующему резонансу при $h_2$ будет соответствовать номер гармоники $n+1$:

$h_2 = (2(n+1) - 1) \frac{\lambda}{4} = (2n + 1) \frac{\lambda}{4}$

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы найти длину волны $\lambda$:

$h_2 - h_1 = (2n + 1) \frac{\lambda}{4} - (2n - 1) \frac{\lambda}{4}$

$h_2 - h_1 = \frac{\lambda}{4} ((2n + 1) - (2n - 1))$

$h_2 - h_1 = \frac{\lambda}{4} \cdot 2 = \frac{\lambda}{2}$

Отсюда выразим длину волны:

$\lambda = 2(h_2 - h_1)$

Длина волны, частота и скорость звука связаны соотношением:

$v = \lambda \cdot \nu$

Отсюда находим частоту колебаний камертона $\nu$:

$\nu = \frac{v}{\lambda} = \frac{v}{2(h_2 - h_1)}$

Подставим числовые значения:

$\nu = \frac{340 \text{ м/с}}{2(0.75 \text{ м} - 0.25 \text{ м})} = \frac{340}{2 \cdot 0.5} = \frac{340}{1} = 340$ Гц

Ответ: 340 Гц.