Номер 5.2.2, страница 143, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

5.2.2. Разность хода двух когерентных лучей составляет 2,5 мкм. Определите длину волн видимого света (от 700 до 400 нм), которые дадут интерференционные максимумы. (Ответ: 417 нм; 500 нм; 625 нм.)

Дано:

Разность хода, $\Delta d = 2,5$ мкм

Диапазон длин волн видимого света, $\lambda_{min} = 400$ нм, $\lambda_{max} = 700$ нм

Перевод в систему СИ:

$\Delta d = 2,5 \times 10^{-6}$ м

$\lambda_{min} = 400 \times 10^{-9}$ м $= 4 \times 10^{-7}$ м

$\lambda_{max} = 700 \times 10^{-9}$ м $= 7 \times 10^{-7}$ м

Найти:

Длины волн $\lambda$, которые дадут интерференционные максимумы.

Решение:

Условие интерференционного максимума (конструктивной интерференции) состоит в том, что разность хода двух когерентных лучей должна быть равна целому числу длин волн:

$\Delta d = k \cdot \lambda$

где $k$ — целое положительное число ($k = 1, 2, 3, \ldots$), называемое порядком максимума.

Из этой формулы можно выразить длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{\Delta d}{k}$

Согласно условию задачи, искомые длины волн должны находиться в диапазоне видимого света, то есть должно выполняться неравенство:

$\lambda_{min} \le \lambda \le \lambda_{max}$

$400 \text{ нм} \le \lambda \le 700 \text{ нм}$

Подставим выражение для $\lambda$ в это двойное неравенство:

$400 \text{ нм} \le \frac{\Delta d}{k} \le 700 \text{ нм}$

Для удобства расчетов переведем разность хода $\Delta d$ в нанометры:

$\Delta d = 2,5 \text{ мкм} = 2,5 \times 1000 \text{ нм} = 2500 \text{ нм}$

Теперь решим полученное неравенство относительно $k$, чтобы найти возможные порядки максимумов:

Из левой части неравенства ($400 \le \frac{2500}{k}$) получаем $k \le \frac{2500}{400}$, то есть $k \le 6,25$.

Из правой части неравенства ($\frac{2500}{k} \le 700$) получаем $k \ge \frac{2500}{700}$, то есть $k \ge 3,57$.

Таким образом, порядок максимума $k$ должен удовлетворять условию:

$3,57 \le k \le 6,25$

Поскольку $k$ может быть только целым числом, то возможными значениями для $k$ в этом диапазоне являются 4, 5 и 6.

Теперь найдем соответствующие длины волн для каждого из этих значений $k$, используя формулу $\lambda = \frac{2500}{k}$:

При $k=4$:

$\lambda_4 = \frac{2500 \text{ нм}}{4} = 625 \text{ нм}$

При $k=5$:

$\lambda_5 = \frac{2500 \text{ нм}}{5} = 500 \text{ нм}$

При $k=6$:

$\lambda_6 = \frac{2500 \text{ нм}}{6} \approx 416,67 \text{ нм}$

Округляя до целого числа, получаем $\lambda_6 \approx 417 \text{ нм}$.

Все найденные значения длин волн (625 нм, 500 нм и 417 нм) лежат в заданном диапазоне видимого света от 400 нм до 700 нм.

Ответ: 417 нм; 500 нм; 625 нм.