Номер 5.2.5, страница 143, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

5.2.5. Какую наименьшую толщину должна иметь пластинка, сделанная из материала с показателем преломления 1,54, чтобы при освещении ее лучами с длиной волны 750 нм перпендикулярно поверхности она в отраженном свете казалась черной? (Ответ: 0,24 мкм.)

Дано:

Показатель преломления пластинки, $n = 1.54$

Длина волны света, $\lambda = 750 \text{ нм} = 750 \times 10^{-9} \text{ м}$

Найти:

Наименьшую толщину пластинки $d_{min}$.

Решение:

Чтобы пластинка в отраженном свете казалась черной, необходимо выполнение условия минимума интерференции для лучей, отраженных от ее передней и задней поверхностей. Это означает, что эти лучи должны гасить друг друга.

Свет падает из воздуха (показатель преломления $n_1 \approx 1$) на пластинку с показателем преломления $n = 1.54$.

При отражении от передней поверхности пластинки (граница воздух-пластинка) свет переходит из оптически менее плотной среды в более плотную ($n_1 < n$). В этом случае фаза отраженной волны изменяется на $\pi$, что эквивалентно дополнительной оптической разности хода в $\lambda/2$.

Луч, вошедший в пластинку, отражается от ее задней поверхности (граница пластинка-воздух). Здесь отражение происходит от среды с меньшим показателем преломления ($n > n_1$), поэтому изменения фазы не происходит.

Оптическая разность хода $\Delta$ между двумя отраженными лучами складывается из пути, пройденного светом внутри пластинки, и дополнительного сдвига фазы при первом отражении. Поскольку свет падает перпендикулярно, он проходит расстояние, равное удвоенной толщине пластинки $2d$. Оптический путь внутри пластинки равен $2nd$.

Условие интерференционного минимума (гашения света) при наличии потери полуволны на одной из границ имеет вид:

$\Delta = 2nd = m\lambda$

где $m$ — целое число ($m = 1, 2, 3, \ldots$).

Для нахождения наименьшей возможной толщины пластинки ($d_{min}$) необходимо выбрать наименьшее положительное значение для $m$. Так как толщина $d$ должна быть больше нуля, минимальное значение $m=1$.

Таким образом, для наименьшей толщины получаем:

$2nd_{min} = 1 \cdot \lambda$

Выразим $d_{min}$ из этой формулы:

$d_{min} = \frac{\lambda}{2n}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$d_{min} = \frac{750 \times 10^{-9} \text{ м}}{2 \times 1.54} = \frac{750}{3.08} \times 10^{-9} \text{ м} \approx 243.5 \times 10^{-9} \text{ м}$

Переведем результат в микрометры (1 мкм = $10^{-6}$ м):

$d_{min} \approx 0.2435 \text{ мкм}$

Округляя результат до сотых долей, получаем $0.24 \text{ мкм}$.

Ответ: наименьшая толщина пластинки должна быть $0.24 \text{ мкм}$.