Номер 5.2.8, страница 143, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

5.2.8. При наблюдении колец Ньютона в отраженном синем свете (450 нм) с помощью плоско-выпуклой линзы, положенной на плоскую пластинку, радиус третьего светлого кольца оказался равным 1,06 мм. После замены синего светофильтра на красный был измерен радиус пятого светлого кольца, оказавшийся равным 1,77 мм. Найдите радиус кривизны линзы и длину волны красного света. (Ответ: $\approx 1$ м; 0,7 мкм.)

Дано:

Наблюдение колец Ньютона в отраженном свете.

Для синего света:

Номер светлого кольца, $k_1 = 3$

Длина волны, $\lambda_1 = 450$ нм

Радиус кольца, $r_1 = 1,06$ мм

Для красного света:

Номер светлого кольца, $k_2 = 5$

Радиус кольца, $r_2 = 1,77$ мм

$\lambda_1 = 450 \cdot 10^{-9}$ м

$r_1 = 1,06 \cdot 10^{-3}$ м

$r_2 = 1,77 \cdot 10^{-3}$ м

Найти:

Радиус кривизны линзы, $R$ - ?

Длина волны красного света, $\lambda_2$ - ?

Решение:

При наблюдении колец Ньютона в отраженном свете условие для образования светлого кольца (интерференционного максимума) имеет вид: $2d = (k - \frac{1}{2})\lambda$, где $d$ - толщина воздушного зазора между линзой и пластинкой, $\lambda$ - длина волны света в вакууме, а $k$ - номер светлого кольца ($k=1, 2, 3, ...$). Дополнительное слагаемое $\frac{1}{2}$ возникает из-за потери полуволны при отражении света от оптически более плотной среды (от стеклянной пластинки).

Толщина воздушного зазора $d$ на расстоянии $r$ от точки касания связана с радиусом кривизны линзы $R$ и радиусом кольца $r$ соотношением (при условии, что $d \ll R$): $d = \frac{r^2}{2R}$

Подставив выражение для $d$ в условие максимума, получим формулу для радиуса $k$-го светлого кольца: $2 \cdot \frac{r_k^2}{2R} = (k - \frac{1}{2})\lambda$ $r_k^2 = R\lambda(k - \frac{1}{2})$

Запишем это уравнение для двух случаев, описанных в условии задачи.

1. Для синего света ($k_1 = 3$, $\lambda_1$, $r_1$): $r_1^2 = R\lambda_1(k_1 - \frac{1}{2})$

2. Для красного света ($k_2 = 5$, $\lambda_2$, $r_2$): $r_2^2 = R\lambda_2(k_2 - \frac{1}{2})$

Из первого уравнения выразим радиус кривизны линзы $R$, так как для этого случая известны все остальные величины: $R = \frac{r_1^2}{\lambda_1(k_1 - \frac{1}{2})}$

Подставим числовые значения для синего света в систему СИ: $R = \frac{(1,06 \cdot 10^{-3})^2}{450 \cdot 10^{-9} \cdot (3 - 0,5)} = \frac{1,1236 \cdot 10^{-6}}{450 \cdot 10^{-9} \cdot 2,5} = \frac{1,1236 \cdot 10^{-6}}{1125 \cdot 10^{-9}} = \frac{1,1236 \cdot 10^{-6}}{1,125 \cdot 10^{-6}} \approx 0,9988$ м.

Округлим полученное значение: $R \approx 1$ м.

Теперь из второго уравнения выразим длину волны красного света $\lambda_2$, используя найденное значение $R$: $\lambda_2 = \frac{r_2^2}{R(k_2 - \frac{1}{2})}$

Подставим числовые значения и найденное значение $R$: $\lambda_2 = \frac{(1,77 \cdot 10^{-3})^2}{0,9988 \cdot (5 - 0,5)} = \frac{3,1329 \cdot 10^{-6}}{0,9988 \cdot 4,5} = \frac{3,1329 \cdot 10^{-6}}{4,4946} \approx 0,697 \cdot 10^{-6}$ м.

Переведем длину волны в микрометры: $\lambda_2 = 0,697 \cdot 10^{-6}$ м = 0,697 мкм.

Ответ: радиус кривизны линзы $R \approx 1$ м, длина волны красного света $\lambda_2 \approx 0,7$ мкм.