Номер 5.2.10, страница 144, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

5.2.10. Какой минимальной толщины должна быть прозрачная пленка с показателем преломления $n = 1,2$, чтобы можно было наблюдать максимум освещенности для длины волны красного цвета (800 нм) при отражении от верхней и нижней поверхностей пленки? Свет падает под углом $30^\circ$. (Ответ: 184 нм.)

Дано:

Показатель преломления пленки, $n = 1,2$

Длина волны красного цвета, $\lambda = 800$ нм

Угол падения света, $\alpha = 30°$

$\lambda = 800 \cdot 10^{-9}$ м

Найти:

Минимальная толщина пленки $d_{min}$

Решение:

Для наблюдения максимума освещенности при отражении от тонкой пленки необходимо, чтобы два отраженных луча (от верхней и нижней поверхностей) интерферировали конструктивно. При отражении от верхней границы (воздух-пленка), где показатель преломления увеличивается ($n > 1$), происходит потеря полуволны, что соответствует сдвигу фазы на $\pi$. При отражении от нижней границы (пленка-воздух) такого сдвига нет, так как отражение происходит от оптически менее плотной среды. Оптическая разность хода лучей, возникающая за счет прохождения света через пленку, составляет $\Delta = 2dn\cos\beta$, где $d$ — толщина пленки, $n$ — ее показатель преломления, а $\beta$ — угол преломления. Условие конструктивной интерференции (максимума) с учетом одного сдвига фазы на $\pi$ имеет вид: $2dn\cos\beta = (k + \frac{1}{2})\lambda$, где $k = 0, 1, 2, \dots$

Минимальная толщина $d_{min}$ соответствует наименьшему порядку интерференции $k=0$. $2d_{min}n\cos\beta = \frac{1}{2}\lambda$ Отсюда, $d_{min} = \frac{\lambda}{4n\cos\beta}$.

Угол преломления $\beta$ найдем из закона Снеллиуса, считая, что свет падает из воздуха ($n_{возд} \approx 1$): $1 \cdot \sin\alpha = n \sin\beta$. $\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{n} = \frac{\sin 30°}{1,2} = \frac{0,5}{1,2} = \frac{5}{12}$.

Косинус угла преломления находим из основного тригонометрического тождества $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$: $\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - (\frac{5}{12})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{144}} = \sqrt{\frac{119}{144}} = \frac{\sqrt{119}}{12}$.

Подставляем найденные значения в формулу для $d_{min}$: $d_{min} = \frac{800 \text{ нм}}{4 \cdot 1,2 \cdot \frac{\sqrt{119}}{12}} = \frac{800}{4,8 \cdot \frac{\sqrt{119}}{12}} = \frac{800}{0,4 \cdot \sqrt{119}} = \frac{2000}{\sqrt{119}} \text{ нм}$.

Вычисляем результат: $d_{min} \approx \frac{2000}{10,9087} \approx 183,34$ нм.

Ответ: минимальная толщина пленки должна быть приблизительно 183 нм.