Номер 1, страница 63, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

1. Участок цепи переменного тока содержит только конденсатор, к обкладкам которого приложено напряжение $u = U_m \sin(\omega t + \phi_0)$. Постройте и объясните графики зависимости силы тока и напряжения от времени в цепи, если:

а)$\phi_0 = 0$;

б)$\phi_0 = \pi/4$. Постройте векторную диаграмму. Сделайте выводы.

Для решения задачи сначала найдем общую зависимость силы тока от времени в цепи с конденсатором, а затем применим ее к заданным условиям.

Дано:

Участок цепи переменного тока содержит только конденсатор с ёмкостью $\text{C}$.

Напряжение на конденсаторе изменяется по закону: $u = U_m \sin(\omega t + \phi_0)$.

Найти:

1. Построить и объяснить графики зависимостей $u(t)$ и $i(t)$ для случаев: а) $\phi_0 = 0$ б) $\phi_0 = \pi/4$

2. Построить векторную диаграмму.

3. Сделать выводы.

Решение:

Заряд на обкладках конденсатора $\text{q}$ связан с напряжением $\text{u}$ соотношением $q = C \cdot u$. Подставив заданное выражение для напряжения, получим зависимость заряда от времени: $q(t) = C U_m \sin(\omega t + \phi_0)$

Сила тока $\text{i}$ в цепи по определению равна производной от заряда по времени: $i(t) = \frac{dq}{dt} = \frac{d}{dt} (C U_m \sin(\omega t + \phi_0))$

Вычисляем производную: $i(t) = C U_m \cdot \cos(\omega t + \phi_0) \cdot \omega = \omega C U_m \cos(\omega t + \phi_0)$

Чтобы сравнить фазы колебаний тока и напряжения, выразим ток через функцию синуса, используя тригонометрическое тождество $\cos(\alpha) = \sin(\alpha + \frac{\pi}{2})$: $i(t) = \omega C U_m \sin(\omega t + \phi_0 + \frac{\pi}{2})$

Амплитуда силы тока $I_m$ равна $I_m = \omega C U_m$. Таким образом, уравнение для силы тока имеет вид: $i(t) = I_m \sin(\omega t + \phi_0 + \frac{\pi}{2})$

Теперь рассмотрим конкретные случаи.

а) $\phi_0 = 0$

При начальной фазе напряжения, равной нулю, уравнения для напряжения и силы тока выглядят следующим образом:

Напряжение: $u(t) = U_m \sin(\omega t)$

Сила тока: $i(t) = I_m \sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) = I_m \cos(\omega t)$

Сравнивая фазы колебаний, видим, что фаза тока ($\omega t + \frac{\pi}{2}$) больше фазы напряжения ($\omega t$) на $\frac{\pi}{2}$. Это означает, что колебания силы тока опережают по фазе колебания напряжения на $\frac{\pi}{2}$ (или 90°).

Графики зависимости силы тока и напряжения от времени:

График напряжения $u(t)$ представляет собой синусоиду, начинающуюся в точке (0,0).

График силы тока $i(t)$ представляет собой косинусоиду. В начальный момент времени $t=0$ напряжение равно нулю, а сила тока максимальна ($i=I_m$), так как скорость изменения напряжения в этот момент наибольшая. Когда напряжение достигает своего пика (при $\omega t = \pi/2$), его скорость изменения становится равной нулю, и ток в цепи также становится равным нулю.

Ответ: В цепи с конденсатором при начальной фазе напряжения $\phi_0 = 0$ сила тока описывается функцией косинуса $i(t) = I_m \cos(\omega t)$ и опережает напряжение $u(t) = U_m \sin(\omega t)$ по фазе на $\frac{\pi}{2}$.

б) $\phi_0 = \pi/4$

При начальной фазе напряжения $\phi_0 = \pi/4$ уравнения принимают вид:

Напряжение: $u(t) = U_m \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$

Сила тока: $i(t) = I_m \sin(\omega t + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}) = I_m \sin(\omega t + \frac{3\pi}{4})$

Разность фаз между током и напряжением остается неизменной: $(\omega t + \frac{3\pi}{4}) - (\omega t + \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$. Сила тока по-прежнему опережает напряжение на $\frac{\pi}{2}$. Наличие начальной фазы $\phi_0$ приводит к сдвигу обоих графиков влево по оси времени на величину $\frac{\pi}{4}$.

Графики зависимости силы тока и напряжения от времени:

Оба графика сохраняют свою форму и взаимное расположение, но сдвигаются по горизонтальной оси. При $t=0$ напряжение $u(0) = U_m \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{U_m}{\sqrt{2}}$, а сила тока $i(0) = I_m \sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$.

Ответ: При начальной фазе напряжения $\phi_0 = \pi/4$ графики напряжения и тока сдвигаются влево по оси времени, но сила тока по-прежнему опережает напряжение по фазе на $\frac{\pi}{2}$.

Векторная диаграмма

Векторная диаграмма изображает амплитуды тока и напряжения в виде векторов ($\vec{I}_m$ и $\vec{U}_m$) на комплексной плоскости в момент времени $t=0$. Угол вектора с горизонтальной осью равен его начальной фазе. Вектор $\vec{U}_m$ расположен под углом $\phi_0$ к оси, а вектор $\vec{I}_m$ — под углом $\phi_0 + \frac{\pi}{2}$. Таким образом, вектор тока всегда опережает вектор напряжения на угол $\frac{\pi}{2}$ (повернут на 90° против часовой стрелки относительно вектора напряжения).

На диаграмме показан случай для $\phi_0 = \pi/4$. Для случая $\phi_0 = 0$ вектор $\vec{U}_m$ был бы направлен горизонтально вправо, а вектор $\vec{I}_m$ — вертикально вверх.

Выводы

1. В цепи переменного тока, содержащей только идеальный конденсатор, колебания силы тока всегда опережают по фазе колебания напряжения на $\frac{\pi}{2}$ (90°), независимо от начальной фазы.

2. Амплитуда тока $I_m$ связана с амплитудой напряжения $U_m$ через величину $X_C = \frac{1}{\omega C}$, называемую емкостным сопротивлением: $I_m = \frac{U_m}{X_C}$.

3. Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте тока $\omega$ и емкости $\text{C}$. Это означает, что конденсатор оказывает меньшее сопротивление токам высокой частоты и большее — токам низкой частоты.

Ответ: Векторная диаграмма наглядно показывает, что вектор тока $\vec{I}_m$ опережает вектор напряжения $\vec{U}_m$ на угол $\frac{\pi}{2}$. Основной вывод заключается в том, что в чисто емкостной цепи переменного тока сила тока опережает напряжение по фазе на 90 градусов.