Номер 2, страница 63, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

2. Начертите и объясните графики зависимости силы тока и напряжения в цепи переменного тока с индуктивным сопротивлением, если сила тока изменяется по закону $i = I_m \sin(\omega t + \phi_0)$, в случае, когда: а) $\phi_0 = 0$; б) $\phi_0 = \pi/4$. Активное сопротивление равно нулю. Постройте векторную диаграмму. Сделайте выводы.

Дано:

Цепь переменного тока с индуктивным сопротивлением $X_L$.

Активное сопротивление $R = 0$.

Сила тока изменяется по закону $i(t) = I_m \sin(\omega t + \phi_0)$.

Рассматриваются случаи:

а) начальная фаза $\phi_0 = 0$.

б) начальная фаза $\phi_0 = \pi/4$.

Найти:

Для каждого случая:

1. Начертить и объяснить графики зависимости силы тока и напряжения.

2. Построить векторную диаграмму.

3. Сделать выводы.

Решение:

Напряжение на катушке индуктивности $u_L(t)$ связано с производной силы тока $i(t)$ по времени согласно закону электромагнитной индукции:

$u_L(t) = L \frac{di}{dt}$

где $\text{L}$ - индуктивность катушки.

Найдем производную от заданной функции тока:

$\frac{di}{dt} = \frac{d}{dt} (I_m \sin(\omega t + \phi_0)) = I_m \omega \cos(\omega t + \phi_0)$

Тогда напряжение на катушке будет:

$u_L(t) = L \cdot I_m \omega \cos(\omega t + \phi_0)$

Амплитуда напряжения $U_m$ связана с амплитудой тока $I_m$ через индуктивное сопротивление $X_L = \omega L$: $U_m = I_m \omega L = I_m X_L$.

Таким образом, уравнение для напряжения можно записать как:

$u_L(t) = U_m \cos(\omega t + \phi_0)$

Для сравнения фаз колебаний тока и напряжения приведем уравнение напряжения к виду с синусом, используя тригонометрическое тождество $\cos(\alpha) = \sin(\alpha + \frac{\pi}{2})$:

$u_L(t) = U_m \sin(\omega t + \phi_0 + \frac{\pi}{2})$

Сравнивая уравнения для тока $i(t) = I_m \sin(\omega t + \phi_0)$ и напряжения $u_L(t) = U_m \sin(\omega t + \phi_0 + \frac{\pi}{2})$, мы видим, что фаза колебаний напряжения $(\omega t + \phi_0 + \frac{\pi}{2})$ больше фазы колебаний тока $(\omega t + \phi_0)$ на величину $\frac{\pi}{2}$. Это означает, что в цепи с чисто индуктивным сопротивлением колебания напряжения опережают по фазе колебания силы тока на $\frac{\pi}{2}$ (90°). Теперь рассмотрим конкретные случаи.

а) $\phi_0 = 0$

При начальной фазе, равной нулю, уравнения для тока и напряжения принимают вид:

$i(t) = I_m \sin(\omega t)$

$u_L(t) = U_m \sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) = U_m \cos(\omega t)$

Графики зависимости:

График силы тока $i(t)$ представляет собой синусоиду. В момент времени $t=0$ ток равен нулю. Он достигает максимального значения $I_m$ в момент времени, когда $\omega t = \pi/2$.

График напряжения $u_L(t)$ представляет собой косинусоиду. В момент времени $t=0$ напряжение максимально и равно $U_m$. Оно становится равным нулю, когда ток достигает своего максимума (при $\omega t = \pi/2$). Это наглядно демонстрирует, что напряжение опережает ток на четверть периода ($T/4$), что соответствует сдвигу фаз на $\pi/2$.

Векторная диаграмма:

Векторная диаграмма строится для момента времени $t=0$. Вектор, изображающий амплитуду тока $\vec{I}_m$, имеет начальную фазу 0, поэтому он направлен горизонтально вправо (вдоль положительного направления оси абсцисс). Вектор, изображающий амплитуду напряжения $\vec{U}_m$, имеет начальную фазу $\pi/2$, поэтому он направлен вертикально вверх (вдоль положительного направления оси ординат). Угол между вектором напряжения и вектором тока составляет $\pi/2$, при этом вектор напряжения опережает вектор тока (при вращении против часовой стрелки).

Выводы:

В цепи переменного тока, содержащей только катушку индуктивности, колебания напряжения на ней опережают по фазе колебания силы тока на $\pi/2$ (90°). Амплитуда напряжения пропорциональна амплитуде тока и индуктивному сопротивлению цепи ($U_m = I_m X_L$).

Ответ: Графиком зависимости тока от времени является синусоида $i(t) = I_m \sin(\omega t)$, а графиком напряжения — косинусоида $u_L(t) = U_m \cos(\omega t)$. Колебания напряжения опережают колебания тока по фазе на $\pi/2$. На векторной диаграмме вектор напряжения $\vec{U}_m$ повернут на угол $\pi/2$ против часовой стрелки относительно вектора тока $\vec{I}_m$.

б) $\phi_0 = \pi/4$

При начальной фазе $\pi/4$ уравнения для тока и напряжения принимают вид:

$i(t) = I_m \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$

$u_L(t) = U_m \sin(\omega t + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}) = U_m \sin(\omega t + \frac{3\pi}{4})$

Графики зависимости:

График силы тока $i(t)$ — это синусоида, сдвинутая влево по оси времени относительно начала координат на фазовый угол $\pi/4$. В момент времени $t=0$ сила тока имеет положительное значение $i(0) = I_m \sin(\pi/4) = I_m/\sqrt{2}$ и продолжает расти.

График напряжения $u_L(t)$ — это синусоида, также сдвинутая влево, но на фазовый угол $3\pi/4$. В момент времени $t=0$ напряжение также положительно, $u_L(0) = U_m \sin(3\pi/4) = U_m/\sqrt{2}$, но уже убывает, пройдя свой максимум. Взаимный сдвиг фаз между графиками тока и напряжения сохраняется и равен $\pi/2$.

Векторная диаграмма:

Для момента времени $t=0$: вектор амплитуды тока $\vec{I}_m$ имеет начальную фазу $\pi/4$ и образует угол 45°с положительным направлением оси абсцисс. Вектор амплитуды напряжения $\vec{U}_m$ имеет начальную фазу $3\pi/4$ и образует угол 135°с той же осью. Угол между векторами $\vec{U}_m$ и $\vec{I}_m$ по-прежнему составляет $3\pi/4 - \pi/4 = \pi/2$, и вектор напряжения опережает вектор тока.

Выводы:

Наличие ненулевой начальной фазы $\phi_0$ изменяет начальные условия (значения тока и напряжения в момент $t=0$) и поворачивает всю векторную диаграмму на угол $\phi_0$ против часовой стрелки. Однако это не влияет на фундаментальное свойство цепи с индуктивностью: сдвиг фаз между напряжением и током всегда остается равным $\pi/2$, и напряжение всегда опережает ток.

Ответ: Графиком зависимости тока от времени является синусоида $i(t) = I_m \sin(\omega t + \pi/4)$, а графиком напряжения — синусоида $u_L(t) = U_m \sin(\omega t + 3\pi/4)$. Колебания напряжения опережают колебания тока по фазе на $\pi/2$. На векторной диаграмме вектор тока $\vec{I}_m$ образует угол $\pi/4$ с горизонтальной осью, а вектор напряжения $\vec{U}_m$ — угол $3\pi/4$, опережая вектор тока на $\pi/2$.