Номер 5, страница 69, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

*5. Измерив сопротивление катушки, включенной в сеть переменного тока, определили, что оно равно $Z_1 = 110$ Ом. Сопротивление такой же катушки, но из провода с вдвое большим удельным сопротивлением, включенной в ту же сеть, оказалось равным $Z_2 = 140$ Ом. Каково активное сопротивление первой катушки?

Ответ: 50 Ом.

Дано:

Полное сопротивление первой катушки $Z_1 = 110$ Ом.

Полное сопротивление второй катушки $Z_2 = 140$ Ом.

Вторая катушка имеет такую же геометрию, что и первая, но изготовлена из провода с удельным сопротивлением в 2 раза большим. Это означает, что их индуктивности равны ($L_1 = L_2 = L$), а активное сопротивление второй катушки вдвое больше ($R_2 = 2R_1$).

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Активное сопротивление первой катушки $R_1$.

Решение:

Полное сопротивление (импеданс) катушки в цепи переменного тока определяется по формуле: $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$, где $\text{R}$ — активное сопротивление, а $X_L$ — индуктивное сопротивление (реактанс).

Индуктивное сопротивление $X_L$ зависит от индуктивности катушки $\text{L}$ и угловой частоты сети $\omega$ ($X_L = \omega L$). Так как обе катушки имеют одинаковую геометрию ($L_1=L_2=L$) и включены в одну и ту же сеть (частота $\omega$ одинакова), их индуктивные сопротивления равны: $X_{L1} = X_{L2} = X_L$.

Активное сопротивление второй катушки $R_2$ вдвое больше, чем у первой, так как удельное сопротивление ее провода вдвое больше: $R_2 = 2R_1$.

Составим систему уравнений для полных сопротивлений обеих катушек, возведя формулу импеданса в квадрат:

1) $Z_1^2 = R_1^2 + X_L^2$

2) $Z_2^2 = R_2^2 + X_L^2 = (2R_1)^2 + X_L^2 = 4R_1^2 + X_L^2$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить неизвестное индуктивное сопротивление $X_L$:

$Z_2^2 - Z_1^2 = (4R_1^2 + X_L^2) - (R_1^2 + X_L^2)$

$Z_2^2 - Z_1^2 = 3R_1^2$

Отсюда выражаем искомое активное сопротивление $R_1$:

$R_1^2 = \frac{Z_2^2 - Z_1^2}{3}$

$R_1 = \sqrt{\frac{Z_2^2 - Z_1^2}{3}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$R_1 = \sqrt{\frac{140^2 - 110^2}{3}} = \sqrt{\frac{19600 - 12100}{3}} = \sqrt{\frac{7500}{3}} = \sqrt{2500} = 50$ Ом.

Ответ: 50 Ом.