Номер 1, страница 68, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

1. Постройте векторную диаграмму для случаев:

а)$X_L = 0, R \neq 0; X_C \neq 0;$

б)$X_C = 0, R \neq 0, X_L \neq 0;$

в)$R = 0, X_L \neq 0, X_C \neq 0.$

1. а) $X_L = 0, R \neq 0, X_C \neq 0$

Этот случай соответствует последовательной RC-цепи, состоящей из резистора и конденсатора. Векторная диаграмма сопротивлений для такого случая строится в комплексной плоскости, где по горизонтальной оси откладывается активное сопротивление $\text{R}$, а по вертикальной — реактивное.

1. Вектор активного сопротивления $\text{R}$ направлен по положительной действительной (горизонтальной) оси. Его направление принимают за базовое, так как оно совпадает с фазой тока в цепи.

2. Вектор емкостного сопротивления $X_C$ направлен по отрицательной мнимой (вертикальной) оси, то есть вертикально вниз. Это связано с тем, что напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на $90^\circ$ ($\pi/2$).

3. Вектор полного сопротивления $\text{Z}$ (импеданс) является векторной суммой $\text{R}$ и $X_C$. Графически он представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются векторы $\text{R}$ и $X_C$.

Модуль полного сопротивления вычисляется по теореме Пифагора: $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$.

Сдвиг фаз $\phi$ между полным напряжением и током определяется как угол между вектором $\text{Z}$ и вектором $\text{R}$: $\phi = \arctan\left(\frac{-X_C}{R}\right)$.

Так как $R > 0$ и $X_C > 0$, угол $\phi$ всегда отрицателен (лежит в IV четверти). Это означает, что ток в цепи опережает напряжение по фазе, и цепь носит емкостный характер.

Ответ: Векторная диаграмма для RC-цепи представляет собой прямоугольный треугольник сопротивлений. Катет $\text{R}$ направлен горизонтально вправо, катет $X_C$ — вертикально вниз. Гипотенуза $\text{Z}$ соединяет начало координат с концом вектора $X_C$. Угол сдвига фаз $\phi$ между $\text{Z}$ и $\text{R}$ отрицателен.

б) $X_C = 0, R \neq 0, X_L \neq 0$

Этот случай соответствует последовательной RL-цепи, состоящей из резистора и катушки индуктивности.

1. Вектор активного сопротивления $\text{R}$ так же откладывается по положительной действительной (горизонтальной) оси.

2. Вектор индуктивного сопротивления $X_L$ направлен по положительной мнимой (вертикальной) оси, то есть вертикально вверх. Это связано с тем, что напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на $90^\circ$ ($\pi/2$).

3. Вектор полного сопротивления $\text{Z}$ является векторной суммой $\text{R}$ и $X_L$. Графически он представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами $\text{R}$ и $X_L$.

Модуль полного сопротивления: $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$.

Сдвиг фаз $\phi$: $\phi = \arctan\left(\frac{X_L}{R}\right)$.

Так как $R > 0$ и $X_L > 0$, угол $\phi$ всегда положителен (лежит в I четверти). Это означает, что напряжение в цепи опережает ток по фазе, и цепь носит индуктивный характер.

Ответ: Векторная диаграмма для RL-цепи представляет собой прямоугольный треугольник сопротивлений. Катет $\text{R}$ направлен горизонтально вправо, катет $X_L$ — вертикально вверх. Гипотенуза $\text{Z}$ соединяет начало координат с концом вектора $X_L$. Угол сдвига фаз $\phi$ между $\text{Z}$ и $\text{R}$ положителен.

в) $R = 0, X_L \neq 0, X_C \neq 0$

Этот случай соответствует идеальной последовательной LC-цепи, содержащей только катушку индуктивности и конденсатор.

1. Активное сопротивление $R=0$.

2. Вектор индуктивного сопротивления $X_L$ направлен вертикально вверх.

3. Вектор емкостного сопротивления $X_C$ направлен вертикально вниз.

4. Векторы $X_L$ и $X_C$ коллинеарны и противоположно направлены. Результирующий вектор полного реактивного сопротивления $\text{X}$ (и полного сопротивления $\text{Z}$, так как $R=0$) является их алгебраической суммой: $Z = |X_L - X_C|$.

Возможны три ситуации:

• Если $X_L > X_C$, то результирующий вектор $\text{Z}$ направлен вверх (как и $X_L$). Полное сопротивление $Z = X_L - X_C$. Угол сдвига фаз $\phi = +90^\circ$. Цепь носит индуктивный характер.

• Если $X_C > X_L$, то результирующий вектор $\text{Z}$ направлен вниз (как и $X_C$). Полное сопротивление $Z = X_C - X_L$. Угол сдвига фаз $\phi = -90^\circ$. Цепь носит емкостный характер.

• Если $X_L = X_C$, то $Z=0$. Это явление называется последовательным резонансом напряжений. Сопротивление цепи равно нулю, а сдвиг фаз $\phi = 0^\circ$.

Ответ: Векторная диаграмма для LC-цепи представляет собой два противоположно направленных вектора $X_L$ (вверх) и $X_C$ (вниз), лежащих на одной вертикальной прямой. Результирующий вектор $\text{Z}$ равен их векторной разности и направлен в сторону большего из реактивных сопротивлений.

2. Задача 1

Условие: Последовательный колебательный контур состоит из резистора с сопротивлением $R = 30$ Ом, катушки индуктивностью $L = 200$ мГн и конденсатора емкостью $C = 50$ мкФ. Контур подключен к источнику переменного напряжения с действующим значением $U = 220$ В и частотой $f = 50$ Гц. Определить полное сопротивление цепи, силу тока в ней и сдвиг фаз между током и напряжением.

Дано: $R = 30$ Ом $L = 200$ мГн $C = 50$ мкФ $U = 220$ В $f = 50$ Гц

Перевод в СИ: $L = 200 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} = 0,2$ Гн $C = 50 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти: $Z - ?$ $I - ?$ $\phi - ?$

Решение:

1. Определим угловую частоту переменного тока (примем $\pi \approx 3,14$): $\omega = 2\pi f = 2 \cdot 3,14 \cdot 50 \text{ Гц} = 314$ рад/с.

2. Рассчитаем индуктивное сопротивление катушки: $X_L = \omega L = 314 \text{ рад/с} \cdot 0,2 \text{ Гн} = 62,8$ Ом.

3. Рассчитаем емкостное сопротивление конденсатора: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{314 \text{ рад/с} \cdot 50 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{1}{0,0157} \approx 63,7$ Ом.

4. Найдем полное сопротивление цепи (импеданс): $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{30^2 + (62,8 - 63,7)^2} = \sqrt{900 + (-0,9)^2} = \sqrt{900 + 0,81} = \sqrt{900,81} \approx 30,01$ Ом.

5. По закону Ома для цепи переменного тока найдем действующее значение силы тока: $I = \frac{U}{Z} = \frac{220 \text{ В}}{30,01 \text{ Ом}} \approx 7,33$ А.

6. Определим сдвиг фаз между током и напряжением: $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R} = \frac{62,8 - 63,7}{30} = \frac{-0,9}{30} = -0,03$. $\phi = \arctan(-0,03) \approx -1,72^\circ$.

Отрицательный знак означает, что напряжение отстает от тока, цепь имеет емкостный характер.

Ответ: полное сопротивление цепи $Z \approx 30,01$ Ом; сила тока $I \approx 7,33$ А; сдвиг фаз $\phi \approx -1,72^\circ$.

Задача 2

Условие: Катушка с активным сопротивлением $R = 10$ Ом и индуктивностью $L = 50$ мГн подключена к источнику переменного тока с частотой $f=400$ Гц. Амперметр, включенный в цепь, показывает действующее значение силы тока $I = 4$ А. Найти полное сопротивление катушки, напряжение на ней и коэффициент мощности цепи.

Дано: $R = 10$ Ом $L = 50$ мГн $I = 4$ А $f = 400$ Гц

Перевод в СИ: $L = 50 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} = 0,05$ Гн

Найти: $Z - ?$ $U - ?$ $\cos\phi - ?$

Решение:

1. Определим угловую частоту тока (примем $\pi \approx 3,14$): $\omega = 2\pi f = 2 \cdot 3,14 \cdot 400 \text{ Гц} = 2512$ рад/с.

2. Рассчитаем индуктивное сопротивление катушки: $X_L = \omega L = 2512 \text{ рад/с} \cdot 0,05 \text{ Гн} = 125,6$ Ом.

3. Найдем полное сопротивление катушки (импеданс): $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{10^2 + 125,6^2} = \sqrt{100 + 15775,36} = \sqrt{15875,36} \approx 126,0$ Ом.

4. По закону Ома найдем напряжение на катушке: $U = I \cdot Z = 4 \text{ А} \cdot 126,0 \text{ Ом} = 504$ В.

5. Коэффициент мощности $\cos\phi$ можно найти как отношение активного сопротивления к полному: $\cos\phi = \frac{R}{Z} = \frac{10 \text{ Ом}}{126,0 \text{ Ом}} \approx 0,079$.

Ответ: полное сопротивление $Z \approx 126,0$ Ом; напряжение $U = 504$ В; коэффициент мощности $\cos\phi \approx 0,079$.