Номер 5, страница 68, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

*5. Чему равно полное сопротивление цепи переменного тока? Как можно вывести эту формулу?

Чему равно полное сопротивление цепи переменного тока?

Полное сопротивление цепи переменного тока, также называемое импедансом, обозначается буквой $\text{Z}$ и представляет собой полное противодействие, которое цепь оказывает переменному току. Оно является обобщением понятия электрического сопротивления для цепей переменного тока и включает в себя как активное сопротивление, так и реактивное сопротивление.

Для последовательной RLC-цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор, импеданс складывается из трех компонент:

1. Активное сопротивление $\text{R}$: обусловлено необратимым преобразованием электрической энергии в тепловую (на резисторах). Оно не зависит от частоты тока.

2. Индуктивное сопротивление $X_L$: создается катушкой индуктивности и связано с возникновением ЭДС самоиндукции. Оно прямо пропорционально частоте: $X_L = \omega L = 2\pi f L$.

3. Емкостное сопротивление $X_C$: создается конденсатором и связано с его периодической перезарядкой. Оно обратно пропорционально частоте: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}$.

Разность между индуктивным и емкостным сопротивлениями $(X_L - X_C)$ называется реактивным сопротивлением цепи.

Полное сопротивление (импеданс) цепи $\text{Z}$ находится как геометрическая сумма активного и реактивного сопротивлений и вычисляется по формуле:

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$

Ответ: Полное сопротивление цепи переменного тока (импеданс) для последовательного RLC-контура равно $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$, где $\text{R}$ – активное сопротивление, $X_L$ – индуктивное сопротивление, а $X_C$ – емкостное сопротивление.

Как можно вывести эту формулу?

Формулу для полного сопротивления последовательной RLC-цепи можно вывести с помощью метода векторных диаграмм. Этот метод наглядно представляет соотношения между амплитудами и фазами напряжений и тока в цепи.

Решение:

Рассмотрим последовательную RLC-цепь. Поскольку элементы соединены последовательно, сила тока $\text{I}$ во всех элементах в любой момент времени одинакова. Примем колебания тока за опорные: $i(t) = I_m \cos(\omega t)$, где $I_m$ — амплитуда тока. Вектор, изображающий ток, направим горизонтально.

1. Напряжение на активном сопротивлении $U_R$ совпадает по фазе с током. Его амплитуда равна $U_{Rm} = I_m \cdot R$. Вектор $U_R$ сонаправлен с вектором тока $\text{I}$.

2. Напряжение на катушке индуктивности $U_L$ опережает ток по фазе на 90° ($\pi/2$). Его амплитуда равна $U_{Lm} = I_m \cdot X_L$. Вектор $U_L$ повернут на 90°против часовой стрелки относительно вектора тока $\text{I}$.

3. Напряжение на конденсаторе $U_C$ отстает от тока по фазе на 90° ($\pi/2$). Его амплитуда равна $U_{Cm} = I_m \cdot X_C$. Вектор $U_C$ повернут на 90° по часовой стрелке относительно вектора тока $\text{I}$.

4. Мгновенное напряжение на всей цепи равно сумме мгновенных напряжений на элементах. Для амплитуд это соответствует векторному сложению. Векторы $U_L$ и $U_C$ лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны. Их результирующий вектор имеет модуль $|U_{Lm} - U_{Cm}|$ и направлен в сторону большего из векторов.

5. Общее напряжение $\text{U}$ на цепи является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются $U_{Rm}$ и $(U_{Lm} - U_{Cm})$. По теореме Пифагора для амплитуд напряжений:

$U_m^2 = U_{Rm}^2 + (U_{Lm} - U_{Cm})^2$

6. Подставим в это уравнение выражения для амплитуд напряжений на каждом элементе:

$U_m^2 = (I_m \cdot R)^2 + (I_m \cdot X_L - I_m \cdot X_C)^2$

7. Вынесем $I_m^2$ за скобки:

$U_m^2 = I_m^2 \cdot (R^2 + (X_L - X_C)^2)$

8. Извлекая квадратный корень, получаем связь между амплитудами полного напряжения и тока:

$U_m = I_m \cdot \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$

9. По определению, полное сопротивление $\text{Z}$ — это коэффициент пропорциональности между амплитудами напряжения и тока, аналог закона Ома для цепи переменного тока: $U_m = I_m \cdot Z$.

10. Сравнивая два последних выражения, получаем искомую формулу:

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$

Ответ: Формулу можно вывести с помощью метода векторных диаграмм. Геометрически складывая векторы напряжений на резисторе, катушке и конденсаторе (с учетом их фазовых сдвигов относительно общего тока) и применяя теорему Пифагора к полученному треугольнику напряжений, мы выражаем полное напряжение через ток и сопротивления, что и приводит к формуле для импеданса.