Номер 3, страница 298 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

3. Значение энергии электрона в атоме водорода задаётся формулой $E_n = -\frac{13,6 \text{ эВ}}{n^2}$, где $n = 1, 2, 3, \ldots$. При переходе атома из состояния $E_2$ в состояние $E_1$ атом испускает фотон. Попав на поверхность фотокатода, фотон выбивает фотоэлектрон. Длина волны света, соответствующая красной границе фотоэффекта для материала поверхности фотокатода, $\lambda_{\text{кр}} = 300 \text{ нм}$. Чему равна максимальная возможная скорость фотоэлектрона?

Дано:

Переход электрона в атоме водорода с уровня $n_i=2$ на уровень $n_f=1$.

Формула для уровней энергии: $E_n = -\frac{13.6 \text{ эВ}}{n^2}$.

Длина волны красной границы фотоэффекта: $\lambda_{\text{кр}} = 300 \text{ нм}$.

Справочные данные:

• Постоянная Планка: $h \approx 6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$
• Скорость света в вакууме: $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$
• Масса электрона: $m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$
• Соотношение между электрон-вольтом и джоулем: $1 \text{ эВ} \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

$\lambda_{\text{кр}} = 300 \text{ нм} = 300 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 3 \cdot 10^{-7} \text{ м}$

Найти:

Максимальная скорость фотоэлектрона $v_{\text{max}}$.

Решение:

1. Сначала определим энергию фотона ($E_{\text{ф}}$), который испускается при переходе атома водорода из возбужденного состояния $E_2$ в основное состояние $E_1$. Энергия фотона равна разности энергий этих состояний.

Энергия электрона на втором энергетическом уровне ($n=2$):

$E_2 = -\frac{13.6 \text{ эВ}}{2^2} = -\frac{13.6}{4} \text{ эВ} = -3.4 \text{ эВ}$

Энергия электрона на первом (основном) энергетическом уровне ($n=1$):

$E_1 = -\frac{13.6 \text{ эВ}}{1^2} = -13.6 \text{ эВ}$

Энергия испущенного фотона:

$E_{\text{ф}} = E_2 - E_1 = (-3.4 \text{ эВ}) - (-13.6 \text{ эВ}) = 10.2 \text{ эВ}$

Переведем энергию фотона в джоули для дальнейших расчетов в системе СИ:

$E_{\text{ф}} = 10.2 \text{ эВ} \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \frac{\text{Дж}}{\text{эВ}} = 16.32 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

2. Далее используем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта. Энергия падающего фотона ($E_{\text{ф}}$) расходуется на совершение работы выхода ($A_{\text{вых}}$) и на сообщение фотоэлектрону максимальной кинетической энергии ($E_{k, \text{max}}$):

$E_{\text{ф}} = A_{\text{вых}} + E_{k, \text{max}}$

3. Рассчитаем работу выхода $A_{\text{вых}}$ для материала фотокатода. Она определяется красной границей фотоэффекта $\lambda_{\text{кр}}$:

$A_{\text{вых}} = \frac{hc}{\lambda_{\text{кр}}}$

Подставим числовые значения:

$A_{\text{вых}} = \frac{6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{3 \cdot 10^{-7} \text{ м}} = 6.63 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

4. Теперь мы можем найти максимальную кинетическую энергию выбитого фотоэлектрона:

$E_{k, \text{max}} = E_{\text{ф}} - A_{\text{вых}}$

$E_{k, \text{max}} = 16.32 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} - 6.63 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 9.69 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

5. Наконец, зная максимальную кинетическую энергию, найдем максимальную скорость фотоэлектрона $v_{\text{max}}$.

Кинетическая энергия связана со скоростью по формуле:

$E_{k, \text{max}} = \frac{m_e v_{\text{max}}^2}{2}$

Отсюда выражаем скорость:

$v_{\text{max}} = \sqrt{\frac{2 E_{k, \text{max}}}{m_e}}$

Подставляем значения и вычисляем:

$v_{\text{max}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 9.69 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}}{9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} \approx \sqrt{\frac{19.38 \cdot 10^{-19}}{9.11 \cdot 10^{-31}}} \text{ м/с} \approx \sqrt{2.127 \cdot 10^{12}} \text{ м/с} \approx 1.46 \cdot 10^6 \text{ м/с}$

Ответ: максимальная возможная скорость фотоэлектрона равна приблизительно $1.46 \cdot 10^6 \text{ м/с}$.