Номер 1.12, страница 5 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Сила тока. Сопротивление проводника - номер 1.12, страница 5.

Условие.

1.12. Сила тока в проводнике изменяется с течением времени так, как показано на графике (рис. 1.1, а, б). Найдите для каждого случая:

а) заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за 4 с;

б) среднюю силу тока в интервале времени от 0 до 3 с.

Рис. 1.1

Решение.

Для решения задачи используется физический смысл силы тока. Заряд $\text{q}$, прошедший через поперечное сечение проводника за промежуток времени $\Delta t$, численно равен площади фигуры под графиком зависимости силы тока от времени $I(t)$ на этом промежутке. Средняя сила тока $I_{ср}$ за промежуток времени $\Delta t$ определяется как отношение полного прошедшего заряда $\text{q}$ к этому промежутку времени:

$I_{ср} = \frac{q}{\Delta t}$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай а (рис. 1.1, а)

Дано:

График линейной зависимости силы тока $\text{I}$ от времени $\text{t}$ (рис. 1.1, а).

В момент времени $t=0$ с, сила тока $I(0) = 0.2$ А.

В момент времени $t=4$ с, сила тока $I(4) = 0.6$ А.

Интервал времени для пункта а): $\Delta t_1 = 4$ с.

Интервал времени для пункта б): $\Delta t_2 = 3$ с.

Найти:

а) заряд $q_1$, прошедший за $\Delta t_1 = 4$ с.

б) среднюю силу тока $I_{ср}$ за $\Delta t_2 = 3$ с.

Решение:

а) заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за 4 с

Заряд, прошедший за 4 секунды, численно равен площади трапеции, ограниченной графиком $I(t)$, осью времени и прямыми $t=0$ и $t=4$. Основаниями трапеции являются значения силы тока $I(0)$ и $I(4)$, а высотой — промежуток времени $\Delta t_1$.

Основания трапеции: $a = I(0) = 0.2$ А, $b = I(4) = 0.6$ А.

Высота трапеции: $h = \Delta t_1 = 4$ с.

Площадь трапеции (заряд) вычисляется по формуле:

$q_1 = S = \frac{a+b}{2}h = \frac{0.2 \text{ А} + 0.6 \text{ А}}{2} \cdot 4 \text{ с} = \frac{0.8}{2} \cdot 4 \text{ Кл} = 0.4 \cdot 4 \text{ Кл} = 1.6 \text{ Кл}$.

Ответ: 1.6 Кл.

б) среднюю силу тока в интервале времени от 0 до 3 с

Чтобы найти среднюю силу тока, сначала определим заряд $q_2$, прошедший за 3 секунды. Этот заряд равен площади трапеции под графиком на интервале от $t=0$ до $t=3$ с.

Найдем значение тока в момент $t=3$ с. Поскольку зависимость $I(t)$ линейная, можно составить пропорцию или найти уравнение прямой. Скорость изменения тока (наклон графика) постоянна: $k = \frac{I(4) - I(0)}{4 - 0} = \frac{0.6 \text{ А} - 0.2 \text{ А}}{4 \text{ с}} = 0.1$ А/с. Тогда $I(3) = I(0) + k \cdot 3 \text{ с} = 0.2 \text{ А} + 0.1 \text{ А/с} \cdot 3 \text{ с} = 0.5$ А.

Основания трапеции: $a = I(0) = 0.2$ А, $b = I(3) = 0.5$ А.

Высота: $h = \Delta t_2 = 3$ с.

$q_2 = \frac{I(0) + I(3)}{2} \cdot \Delta t_2 = \frac{0.2 \text{ А} + 0.5 \text{ А}}{2} \cdot 3 \text{ с} = \frac{0.7}{2} \cdot 3 \text{ Кл} = 1.05 \text{ Кл}$.

Средняя сила тока вычисляется по формуле:

$I_{ср} = \frac{q_2}{\Delta t_2} = \frac{1.05 \text{ Кл}}{3 \text{ с}} = 0.35$ А.

Ответ: 0.35 А.

Случай б (рис. 1.1, б)

Дано:

График зависимости силы тока $\text{I}$ от времени $\text{t}$ (рис. 1.1, б).

На интервале $t \in [0, 2]$ с, сила тока постоянна: $I = 30$ мА.

На интервале $t > 2$ с, сила тока линейно убывает.

$I(2) = 30$ мА, $I(4) = 10$ мА.

Интервал времени для пункта а): $\Delta t_1 = 4$ с.

Интервал времени для пункта б): $\Delta t_2 = 3$ с.

Перевод в СИ:

$1 \text{ мА} = 10^{-3} \text{ А}$

$30 \text{ мА} = 0.03 \text{ А}$

$10 \text{ мА} = 0.01 \text{ А}$

Найти:

а) заряд $q_1$, прошедший за $\Delta t_1 = 4$ с.

б) среднюю силу тока $I_{ср}$ за $\Delta t_2 = 3$ с.

Решение:

а) заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за 4 с

Заряд $q_1$ за 4 секунды равен площади фигуры под графиком от $t=0$ до $t=4$. Эту фигуру можно разбить на две: прямоугольник на интервале $[0, 2]$ с и трапецию на интервале $[2, 4]$ с.

Заряд на интервале $[0, 2]$ с (площадь прямоугольника):

$q_{0-2} = I \cdot \Delta t = 30 \text{ мА} \cdot 2 \text{ с} = 60$ мКл.

Заряд на интервале $[2, 4]$ с (площадь трапеции):

Основания: $a = I(2) = 30$ мА, $b = I(4) = 10$ мА.

Высота: $h = 4 \text{ с} - 2 \text{ с} = 2$ с.

$q_{2-4} = \frac{a+b}{2}h = \frac{30 \text{ мА} + 10 \text{ мА}}{2} \cdot 2 \text{ с} = 40$ мКл.

Общий заряд за 4 секунды равен сумме:

$q_1 = q_{0-2} + q_{2-4} = 60 \text{ мКл} + 40 \text{ мКл} = 100$ мКл.

В системе СИ: $100 \text{ мКл} = 100 \cdot 10^{-3} \text{ Кл} = 0.1$ Кл.

Ответ: 0.1 Кл.

б) среднюю силу тока в интервале времени от 0 до 3 с

Аналогично, найдем заряд $q_2$ за 3 секунды. Площадь под графиком от $t=0$ до $t=3$ состоит из площади прямоугольника на $[0, 2]$ с и площади трапеции на $[2, 3]$ с.

Заряд на интервале $[0, 2]$ с: $q_{0-2} = 60$ мКл.

Для нахождения заряда на интервале $[2, 3]$ с, определим ток $I(3)$. На участке от $t=2$ с ток убывает линейно. Скорость убывания тока: $\frac{I(4) - I(2)}{4 \text{ с} - 2 \text{ с}} = \frac{10 \text{ мА} - 30 \text{ мА}}{2 \text{ с}} = -10$ мА/с. Тогда $I(3) = I(2) - 10 \text{ мА/с} \cdot (3-2)\text{с} = 30 - 10 = 20$ мА.

Заряд на интервале $[2, 3]$ с (площадь трапеции):

Основания: $a = I(2) = 30$ мА, $b = I(3) = 20$ мА.

Высота: $h = 3 \text{ с} - 2 \text{ с} = 1$ с.

$q_{2-3} = \frac{a+b}{2}h = \frac{30 \text{ мА} + 20 \text{ мА}}{2} \cdot 1 \text{ с} = 25$ мКл.

Общий заряд за 3 секунды:

$q_2 = q_{0-2} + q_{2-3} = 60 \text{ мКл} + 25 \text{ мКл} = 85$ мКл.

Средняя сила тока за 3 секунды:

$I_{ср} = \frac{q_2}{\Delta t_2} = \frac{85 \text{ мКл}}{3 \text{ с}} = \frac{85}{3}$ мА $\approx 28.33$ мА.

Ответ: $\frac{85}{3}$ мА (или $\approx 28.3$ мА).