Номер 1.13, страница 5 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 1. Электрический ток. Сила тока. Сопротивление проводника - номер 1.13, страница 5.

Условие.

1.13*. Через два медных проводника проходит ток (рис. 1.2). Сравните скорости упорядоченного движения электронов в этих проводниках.

Рис. 1.2

Решение.

Дано:

Два медных проводника 1 и 2.

Площади поперечного сечения: $S_1$ и $S_2$.

Длины: $L_1$ и $L_2$.

Из рисунка 1.2 видно, что $S_1 < S_2$.

Материал проводников — медь, следовательно, концентрация свободных электронов $\text{n}$ и удельное сопротивление $\rho$ для них одинаковы.

Рассматриваются два случая соединения:

а) последовательное (рис. 1.2, а)

б) параллельное (рис. 1.2, б)

Найти:

Сравнить скорости упорядоченного движения электронов $v_1$ и $v_2$ в обоих случаях.

Решение:

Сила тока $\text{I}$ связана со скоростью упорядоченного движения электронов $\text{v}$ (дрейфовой скоростью) соотношением:

$I = e \cdot n \cdot S \cdot v$

где $\text{e}$ — модуль заряда электрона, $\text{n}$ — концентрация свободных электронов, $\text{S}$ — площадь поперечного сечения проводника.

Из этой формулы можно выразить скорость:

$v = \frac{I}{e \cdot n \cdot S}$

а) Последовательное соединение (рис. 1.2, а)

При последовательном соединении сила тока во всех участках цепи одинакова:

$I_1 = I_2 = I$

Приравняем выражения для силы тока в первом и втором проводниках:

$e \cdot n \cdot S_1 \cdot v_1 = e \cdot n \cdot S_2 \cdot v_2$

Поскольку оба проводника медные, величины $\text{e}$ и $\text{n}$ для них одинаковы. Сократив их, получим:

$S_1 \cdot v_1 = S_2 \cdot v_2$

Отсюда находим отношение скоростей:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{S_2}{S_1}$

Из рисунка видно, что площадь поперечного сечения второго проводника больше, чем первого ($S_2 > S_1$). Следовательно, отношение $\frac{S_2}{S_1} > 1$, а значит, $v_1 > v_2$. Скорость упорядоченного движения электронов обратно пропорциональна площади поперечного сечения проводника.

Ответ: При последовательном соединении скорость упорядоченного движения электронов больше в более тонком проводнике (1), чем в более толстом (2): $v_1 > v_2$.

б) Параллельное соединение (рис. 1.2, б)

При параллельном соединении напряжение на концах обоих проводников одинаково:

$U_1 = U_2 = U$

Силу тока в каждом проводнике найдем, используя закон Ома $I = \frac{U}{R}$ и формулу для сопротивления $R = \rho \frac{L}{S}$, где $\text{L}$ - длина проводника.

Ток в первом проводнике: $I_1 = \frac{U}{R_1} = \frac{U \cdot S_1}{\rho \cdot L_1}$.

Ток во втором проводнике: $I_2 = \frac{U}{R_2} = \frac{U \cdot S_2}{\rho \cdot L_2}$.

Теперь подставим эти выражения для тока в формулу для дрейфовой скорости $v = \frac{I}{e \cdot n \cdot S}$ для каждого проводника.

Для первого проводника:

$v_1 = \frac{I_1}{e \cdot n \cdot S_1} = \frac{1}{e \cdot n \cdot S_1} \cdot \frac{U \cdot S_1}{\rho \cdot L_1} = \frac{U}{e \cdot n \cdot \rho \cdot L_1}$

Для второго проводника:

$v_2 = \frac{I_2}{e \cdot n \cdot S_2} = \frac{1}{e \cdot n \cdot S_2} \cdot \frac{U \cdot S_2}{\rho \cdot L_2} = \frac{U}{e \cdot n \cdot \rho \cdot L_2}$

Как видно, при параллельном соединении скорость электронов не зависит от площади поперечного сечения, а обратно пропорциональна длине проводника. На рисунке 1.2, б проводники изображены имеющими одинаковую длину. Если исходить из этого изображения и предположить, что $L_1 = L_2$, то скорости электронов в обоих проводниках будут равны.

Ответ: При параллельном соединении, если длины проводников одинаковы ($L_1 = L_2$), то скорости упорядоченного движения электронов в них равны: $v_1 = v_2$.