Номер 3.10, страница 53 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Магнитное поле тока. Магнитная индукция - номер 3.10, страница 53.

Условие.

3.10*. Два длинных прямолинейных проводника расположены на расстоянии 0,1 м друг от друга в вакууме. По проводам текут токи ($I_1 = I_2 = 10 \text{ A}$). Найдите модуль и направление вектора магнитной индукции в точке, находящейся на расстоянии 0,1 м от каждого проводника, если направления токов: а) одинаковые; б) противоположные.

Решение.

Дано

$d = 0.1$ м - расстояние между проводниками
$I_1 = I_2 = I = 10$ А - сила тока в проводниках
$r_1 = r_2 = r = 0.1$ м - расстояние от точки до каждого проводника
$\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}$ Гн/м - магнитная постоянная

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Модуль и направление вектора магнитной индукции $\vec{B}$ в указанной точке для случаев а) и б).

Решение

Поскольку расстояние между проводниками ($d = 0.1$ м) равно расстоянию от искомой точки до каждого из проводников ($r = 0.1$ м), проводники и точка образуют вершины равностороннего треугольника со стороной $a = 0.1$ м.

Модуль вектора магнитной индукции, создаваемой бесконечно длинным прямолинейным проводником с током $\text{I}$ на расстоянии $\text{r}$ от него, определяется по формуле:

$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

Так как токи в проводниках и расстояния до точки одинаковы, модули векторов магнитной индукции, создаваемых каждым проводником в этой точке, будут равны:

$B_1 = B_2 = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м} \cdot 10 \text{ А}}{2\pi \cdot 0.1 \text{ м}} = 2 \cdot 10^{-5}$ Тл.

Направление векторов $\vec{B_1}$ и $\vec{B_2}$ определяется по правилу правой руки (правилу буравчика). Векторы $\vec{B_1}$ и $\vec{B_2}$ перпендикулярны сторонам треугольника, соединяющим соответствующий проводник с точкой, и лежат в плоскости этого треугольника.

Результирующий вектор магнитной индукции $\vec{B}$ находится по принципу суперпозиции полей как векторная сумма:

$\vec{B} = \vec{B_1} + \vec{B_2}$

Модуль результирующего вектора найдем по теореме косинусов:

$B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2 + 2B_1 B_2 \cos\alpha}$, где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{B_1}$ и $\vec{B_2}$.

а) направления токов одинаковые

Пусть токи направлены перпендикулярно плоскости треугольника от нас. По правилу правой руки, вектор $\vec{B_1}$ будет перпендикулярен одной стороне треугольника, а вектор $\vec{B_2}$ — другой. Угол между сторонами треугольника равен $60^\circ$. Угол между перпендикулярами к этим сторонам (векторами $\vec{B_1}$ и $\vec{B_2}$) будет равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Тогда модуль результирующего вектора:

$B_a = \sqrt{B_1^2 + B_1^2 + 2B_1^2 \cos(120^\circ)} = \sqrt{2B_1^2 + 2B_1^2(-\frac{1}{2})} = \sqrt{2B_1^2 - B_1^2} = \sqrt{B_1^2} = B_1$

$B_a = 2 \cdot 10^{-5}$ Тл.

Векторы $\vec{B_1}$ и $\vec{B_2}$ образуют ромб, в котором результирующий вектор $\vec{B_a}$ является диагональю. В данном случае вектор $\vec{B_a}$ будет направлен параллельно прямой, соединяющей проводники.

Ответ: $2 \cdot 10^{-5}$ Тл, вектор направлен параллельно прямой, соединяющей проводники.

б) направления токов противоположные

Пусть ток $I_1$ направлен от нас, а ток $I_2$ — к нам. Направление вектора $\vec{B_1}$ останется прежним, а направление вектора $\vec{B_2}$ изменится на противоположное. Угол между векторами $\vec{B_1}$ и $\vec{B_2}$ станет равен $60^\circ$.

Тогда модуль результирующего вектора:

$B_b = \sqrt{B_1^2 + B_1^2 + 2B_1^2 \cos(60^\circ)} = \sqrt{2B_1^2 + 2B_1^2(\frac{1}{2})} = \sqrt{2B_1^2 + B_1^2} = \sqrt{3B_1^2} = B_1\sqrt{3}$

$B_b = (2 \cdot 10^{-5}) \cdot \sqrt{3} \approx 3,46 \cdot 10^{-5}$ Тл.

Результирующий вектор $\vec{B_b}$ будет направлен перпендикулярно прямой, соединяющей проводники, в сторону от нее.

Ответ: $3,46 \cdot 10^{-5}$ Тл, вектор направлен перпендикулярно прямой, соединяющей проводники.