Номер 3.12, страница 53 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Магнитное поле тока. Магнитная индукция - номер 3.12, страница 53.

Условие.

3.12*. Определите модуль и направление вектора магнитной индукции в центре петли радиусом 15,7 см, образованной длинным проводником с током силой 50 А (рис. 3.6).

Рис. 3.6

Решение.

Дано:

Радиус петли, $R = 15,7 \text{ см}$

Сила тока, $I = 50 \text{ А}$

Магнитная постоянная, $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ Тл} \cdot \text{м/А}$

Перевод в систему СИ:

$R = 15,7 \text{ см} = 0,157 \text{ м}$

Найти:

Модуль и направление вектора магнитной индукции в центре петли, $\vec{B}$.

Решение:

Магнитное поле в центре петли (точка C) создается двумя частями проводника: длинным прямолинейным участком и круговым витком. Согласно принципу суперпозиции полей, результирующий вектор магнитной индукции $\vec{B}$ равен векторной сумме индукций полей, создаваемых этими частями:

$\vec{B} = \vec{B}_{1} + \vec{B}_{2}$

где $\vec{B}_{1}$ — индукция поля от прямолинейного участка, а $\vec{B}_{2}$ — индукция поля от кругового витка.

Модуль магнитной индукции, создаваемой бесконечно длинным прямым проводом с током $\text{I}$ на расстоянии $\text{R}$ от него, равен:

$B_{1} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}$

Для определения направления вектора $\vec{B}_{1}$ воспользуемся правилом правой руки. Если направить большой палец правой руки по направлению тока в проводе (слева направо), то согнутые пальцы покажут направление линий индукции. В точке C, находящейся над проводом, вектор $\vec{B}_{1}$ будет направлен перпендикулярно плоскости чертежа на нас.

Модуль магнитной индукции в центре кругового витка радиусом $\text{R}$ с током $\text{I}$ определяется формулой:

$B_{2} = \frac{\mu_0 I}{2 R}$

Ток в витке течет против часовой стрелки. Применяя правило правой руки для витка с током (если обхватить виток ладонью правой руки так, чтобы четыре пальца были направлены по току, то отставленный большой палец покажет направление вектора индукции в центре витка), находим, что вектор $\vec{B}_{2}$ также направлен перпендикулярно плоскости чертежа на нас.

Так как векторы $\vec{B}_{1}$ и $\vec{B}_{2}$ сонаправлены, модуль результирующего вектора $\vec{B}$ равен сумме их модулей:

$B = B_{1} + B_{2} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R} + \frac{\mu_0 I}{2 R} = \frac{\mu_0 I}{2 R} \left( \frac{1}{\pi} + 1 \right)$

Подставим числовые значения в формулу:

$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \text{ Тл} \cdot \text{м/А} \times 50 \text{ А}}{2 \times 0,157 \text{ м}} \left( \frac{1}{\pi} + 1 \right)$

Заметим, что $0,157 \text{ м} \approx 0,05 \pi \text{ м}$. Это позволяет упростить выражение.

$B = \frac{200\pi \times 10^{-7}}{2 \times 0,157} \left( \frac{1+\pi}{\pi} \right) = \frac{200\pi \times 10^{-7}}{0,314} \frac{1+\pi}{\pi}$

При $\pi \approx 3,14$ знаменатель $0,314 = \pi / 10$.

$B \approx \frac{200\pi \times 10^{-7}}{\pi / 10} \frac{1+\pi}{\pi} = 2000 \times 10^{-7} \frac{1+\pi}{\pi} = 2 \times 10^{-4} \frac{1+\pi}{\pi}$

Выполним вычисления:

$B \approx 2 \times 10^{-4} \times \frac{1 + 3,14159}{3,14159} \approx 2 \times 10^{-4} \times \frac{4,14159}{3,14159} \approx 2 \times 10^{-4} \times 1,3183$

$B \approx 2,6366 \times 10^{-4} \text{ Тл}$

Округляя до трех значащих цифр, получаем $B \approx 2,64 \times 10^{-4} \text{ Тл}$.

Направление результирующего вектора индукции, как было определено ранее, перпендикулярно плоскости рисунка к наблюдателю.

Ответ: модуль вектора магнитной индукции $B \approx 2,64 \times 10^{-4}$ Тл (или 0,264 мТл); вектор направлен перпендикулярно плоскости рисунка к наблюдателю.