Номер 3.11, страница 53 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Магнитное поле тока. Магнитная индукция - номер 3.11, страница 53.

Условие.

3.11*. По двум длинным прямолинейным проводам, находящимся в вакууме на расстоянии 5 см друг от друга, текут токи ($I_1 = I_2 = 10 A$). Определите модуль вектора магнитной индукции в точке, удалённой на 4 см от одного провода и на 3 см от другого, если направления токов:

а) одинаковые;

б) противоположные.

Решение.

Дано:

$I_1 = I_2 = I = 10$ А
$d = 5$ см
$r_1 = 4$ см
$r_2 = 3$ см
$\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}$ Н/А² (магнитная постоянная)

Перевод в систему СИ:
$d = 0.05$ м
$r_1 = 0.04$ м
$r_2 = 0.03$ м

Найти:

$\text{B}$ - модуль вектора магнитной индукции в точке.

Решение:

Рассмотрим взаимное расположение проводов и точки, в которой необходимо определить магнитную индукцию. Расстояние между проводами $d = 5$ см, расстояние от точки до первого провода $r_1 = 4$ см, а до второго $r_2 = 3$ см. Эти три отрезка образуют треугольник.

Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора:$d^2 = r_1^2 + r_2^2$$5^2 = 4^2 + 3^2$$25 = 16 + 9$$25 = 25$

Так как равенство выполняется, то треугольник, вершинами которого являются точка и сечения проводов, является прямоугольным, причём прямой угол находится в искомой точке.

Согласно принципу суперпозиции, результирующий вектор магнитной индукции $\vec{B}$ равен векторной сумме векторов $\vec{B_1}$ и $\vec{B_2}$, создаваемых каждым проводом по отдельности:$\vec{B} = \vec{B_1} + \vec{B_2}$

Модуль вектора магнитной индукции, создаваемой длинным прямым проводом с током $\text{I}$ на расстоянии $\text{r}$, вычисляется по формуле:$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$

Вычислим модули векторов $B_1$ и $B_2$:$B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi r_1} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 10}{2 \pi \cdot 0.04} = \frac{2 \cdot 10^{-6}}{0.04} = 5 \cdot 10^{-5}$ Тл.

$B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi r_2} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 10}{2 \pi \cdot 0.03} = \frac{2 \cdot 10^{-6}}{0.03} = \frac{200}{3} \cdot 10^{-6} \text{ Тл} \approx 6.67 \cdot 10^{-5}$ Тл.

Направление векторов магнитной индукции определяется по правилу правой руки. Вектор $\vec{B_1}$ перпендикулярен отрезку $r_1$, а вектор $\vec{B_2}$ перпендикулярен отрезку $r_2$. Поскольку отрезки $r_1$ и $r_2$ взаимно перпендикулярны, то и векторы $\vec{B_1}$ и $\vec{B_2}$ также взаимно перпендикулярны. Это справедливо независимо от того, сонаправлены токи или направлены в противоположные стороны.

Модуль результирующего вектора для двух перпендикулярных векторов находится по теореме Пифагора:$B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$

Подставим вычисленные значения:$B = \sqrt{(5 \cdot 10^{-5})^2 + (\frac{200}{3} \cdot 10^{-6})^2} = \sqrt{(5 \cdot 10^{-5})^2 + (\frac{20}{3} \cdot 10^{-5})^2}$$B = \sqrt{10^{-10} \cdot (25 + \frac{400}{9})} = 10^{-5} \sqrt{\frac{225+400}{9}} = 10^{-5} \sqrt{\frac{625}{9}} = 10^{-5} \frac{25}{3}$$B = \frac{25}{3} \cdot 10^{-5} \text{ Тл} \approx 8.33 \cdot 10^{-5}$ Тл.

а) одинаковые

В случае одинакового направления токов векторы $\vec{B_1}$ и $\vec{B_2}$ перпендикулярны друг другу. Модуль результирующего вектора равен:$B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \frac{25}{3} \cdot 10^{-5} \text{ Тл} \approx 8.33 \cdot 10^{-5}$ Тл.
Ответ: $B \approx 8.33 \cdot 10^{-5}$ Тл.

б) противоположные

В случае противоположного направления токов векторы $\vec{B_1}$ и $\vec{B_2}$ также остаются перпендикулярными друг другу (изменится лишь направление одного из них на 180°). Поэтому модуль их векторной суммы вычисляется аналогично:$B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \frac{25}{3} \cdot 10^{-5} \text{ Тл} \approx 8.33 \cdot 10^{-5}$ Тл.
Ответ: $B \approx 8.33 \cdot 10^{-5}$ Тл.