Номер 5.185, страница 129 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Трёхфазный ток - номер 5.185, страница 129.

Условие.

5.185*. В обмотках трёхфазного генератора (рис. 5.38) сила тока изменяется с течением времени по законам $i_1 = I_0\sin \omega t$, $i_2 = I_0\sin (\omega t + 2\pi/3)$ и $i_3 = I_0\sin (\omega t + 4\pi/3)$. Запишите уравнение зависимости силы тока от времени в нейтральном проводе.

Рис. 5.38

Решение.

Дано:

Сила тока в обмотках трёхфазного генератора изменяется по законам:

$i_1 = I_0 \sin(\omega t)$

$i_2 = I_0 \sin(\omega t + 2\pi/3)$

$i_3 = I_0 \sin(\omega t + 4\pi/3)$

Схема соединения обмоток – «звезда» (Рис. 5.38).

Найти:

$i_N(t)$ - уравнение зависимости силы тока от времени в нейтральном проводе.

Решение:

На рисунке показано соединение обмоток генератора по схеме «звезда». Нейтральный провод подключается к общей точке O (нейтрали). По первому правилу Кирхгофа, алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю. В данном случае ток, вытекающий из узла O по нейтральному проводу ($i_N$), равен сумме токов, втекающих в узел O из обмоток ($i_1$, $i_2$, $i_3$).

$i_N = i_1 + i_2 + i_3$

Подставим в это уравнение выражения для токов, заданные в условии:

$i_N = I_0 \sin(\omega t) + I_0 \sin(\omega t + 2\pi/3) + I_0 \sin(\omega t + 4\pi/3)$

Вынесем амплитудное значение тока $I_0$ за скобки:

$i_N = I_0 (\sin(\omega t) + \sin(\omega t + 2\pi/3) + \sin(\omega t + 4\pi/3))$

Для упрощения выражения в скобках применим тригонометрическую формулу суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$. Сложим второе и третье слагаемые:

$\sin(\omega t + 2\pi/3) + \sin(\omega t + 4\pi/3) = 2 \sin\left(\frac{(\omega t + 2\pi/3) + (\omega t + 4\pi/3)}{2}\right) \cos\left(\frac{(\omega t + 4\pi/3) - (\omega t + 2\pi/3)}{2}\right)$

Упростим аргументы синуса и косинуса:

Аргумент синуса: $\frac{2\omega t + 6\pi/3}{2} = \frac{2\omega t + 2\pi}{2} = \omega t + \pi$

Аргумент косинуса: $\frac{2\pi/3}{2} = \pi/3$

Тогда сумма второго и третьего слагаемых равна:

$2 \sin(\omega t + \pi) \cos(\pi/3)$

Используя формулу приведения $\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$ и значение косинуса $\cos(\pi/3) = 1/2$, получаем:

$2 \cdot (-\sin(\omega t)) \cdot \frac{1}{2} = -\sin(\omega t)$

Теперь подставим полученный результат обратно в уравнение для тока $i_N$:

$i_N = I_0 (\sin(\omega t) - \sin(\omega t))$

$i_N = I_0 \cdot 0 = 0$

Это означает, что при симметричной системе токов (когда амплитуды одинаковы, а фазы сдвинуты на $2\pi/3$) мгновенное значение тока в нейтральном проводе всегда равно нулю.

Ответ: $i_N = 0$.