Номер 5.186, страница 130 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Трёхфазный ток - номер 5.186, страница 130.

Условие.

5.186*. Действующее значение напряжения между фазным проводом $AA_1$ и нулевым проводом $OO_1$ равно $U_{\phi}$ (рис. 5.39). Найдите действующее значение напряжения между двумя фазными проводами (линейное напряжение $U_{\text{л}}$).

Рис. 5.39

Решение.

Дано:

Действующее значение фазного напряжения (напряжение между фазным проводом AA₁ и нулевым проводом OO₁): $U_ф$

Тип соединения источника и нагрузки: трехфазная четырехпроводная система, соединение "звезда".

Найти:

Действующее значение линейного напряжения (напряжение между двумя фазными проводами): $U_л$

Решение:

На схеме показано соединение источника трехфазного напряжения и нагрузки по схеме "звезда". Фазное напряжение $U_ф$ — это действующее значение напряжения между началом фазы (например, A) и нулевой точкой (O). Линейное напряжение $U_л$ — это действующее значение напряжения между двумя фазными проводами (например, между A и B, или B и C, как указано на схеме).

В симметричной трехфазной системе фазные напряжения равны по величине и сдвинуты по фазе друг относительно друга на угол $120^\circ$. Мгновенное значение линейного напряжения, например, между фазами B и C, равно разности мгновенных значений их фазных напряжений:

$u_л(t) = u_{BC}(t) = u_B(t) - u_C(t)$

Для нахождения соотношения между действующими значениями напряжений удобно использовать векторную (фазорную) диаграмму. Линейное напряжение представляется вектором, равным векторной разности соответствующих фазных напряжений:

$\vec{U}_л = \vec{U}_{BC} = \vec{U}_B - \vec{U}_C$

Модуль вектора разности (действующее значение линейного напряжения $U_л$) можно найти по теореме косинусов. Длины векторов фазных напряжений равны $U_ф$, а угол между ними составляет $120^\circ$.

$U_л^2 = |\vec{U}_B|^2 + |\vec{U}_C|^2 - 2 |\vec{U}_B| |\vec{U}_C| \cos(120^\circ)$

Подставим известные значения:

$U_л^2 = U_ф^2 + U_ф^2 - 2 \cdot U_ф \cdot U_ф \cdot \cos(120^\circ)$

Зная, что $\cos(120^\circ) = -0.5 = -1/2$, получаем:

$U_л^2 = 2U_ф^2 - 2U_ф^2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$U_л^2 = 2U_ф^2 + U_ф^2 = 3U_ф^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим искомое соотношение:

$U_л = \sqrt{3} \cdot U_ф$

Таким образом, в трехфазной системе при соединении "звезда" линейное напряжение в $\sqrt{3}$ раз больше фазного.

Ответ:

Действующее значение напряжения между двумя фазными проводами (линейное напряжение) выражается через фазное напряжение формулой $U_л = \sqrt{3} U_ф$.