Номер 5.184, страница 129 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 5. Электромагнитные колебания. Трёхфазный ток - номер 5.184, страница 129.

Условие.

5.184*. В одной из обмоток трёхфазного генератора (рис. 5.37) ЭДС изменяется с течением времени по закону $e_1 = \mathcal{E}_0 \cos \omega t$. Запишите уравнение зависимости ЭДС от времени для двух других обмоток.

Рис. 5.37

Решение.

Дано:

Уравнение зависимости ЭДС от времени для первой обмотки трехфазного генератора: $e_1 = \mathcal{E}_0 \cos(\omega t)$

Найти:

Уравнения зависимости ЭДС от времени для двух других обмоток, $e_2(t)$ и $e_3(t)$.

Решение:

В трехфазном генераторе три обмотки статора физически сдвинуты друг относительно друга на угол $120^\circ$. Полный круг составляет $360^\circ$, поэтому угловой сдвиг между соседними обмотками равен $\frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$. В радианах этот угол равен $\frac{2\pi}{3}$.

Когда ротор (вращающийся магнит) вращается с угловой скоростью $\omega$, он индуцирует в каждой из трех обмоток синусоидальную ЭДС. Поскольку обмотки предполагаются одинаковыми, то амплитуда $\mathcal{E}_0$ и угловая частота $\omega$ индуцируемых ЭДС будут одинаковыми для всех трех фаз. Отличие будет заключаться только в начальной фазе колебаний.

Пространственный сдвиг обмоток на $120^\circ$ приводит к временному, или фазовому, сдвигу возникающих в них ЭДС на те же $120^\circ$ ($\frac{2\pi}{3}$ рад).

На рисунке 5.37 стрелкой показано направление вращения ротора — по часовой стрелке. Последовательность, в которой магнитное поле ротора проходит мимо обмоток, следующая: $e_1 \rightarrow e_2 \rightarrow e_3$. Это означает, что пик ЭДС в обмотке $e_2$ будет достигаться позже, чем в обмотке $e_1$, а в обмотке $e_3$ — еще позже. Следовательно, ЭДС в обмотке $e_2$ отстает по фазе от ЭДС в обмотке $e_1$ на $120^\circ$, а ЭДС в обмотке $e_3$ отстает по фазе от ЭДС в обмотке $e_1$ на $240^\circ$.

ЭДС в первой обмотке задана уравнением:

$e_1(t) = \mathcal{E}_0 \cos(\omega t)$

Для второй обмотки, ЭДС в которой отстает по фазе на $\frac{2\pi}{3}$ радиан, уравнение будет иметь вид:

$e_2(t) = \mathcal{E}_0 \cos(\omega t - \frac{2\pi}{3})$

Для третьей обмотки, ЭДС в которой отстает по фазе от первой на $240^\circ$ ($\frac{4\pi}{3}$ радиан), уравнение будет:

$e_3(t) = \mathcal{E}_0 \cos(\omega t - \frac{4\pi}{3})$

Так как функция косинуса является периодической с периодом $2\pi$, фазовый сдвиг $-\frac{4\pi}{3}$ эквивалентен сдвигу $-\frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{2\pi}{3}$. Поэтому уравнение для $e_3(t)$ можно также записать в виде опережающей фазы относительно $e_1(t)$:

$e_3(t) = \mathcal{E}_0 \cos(\omega t + \frac{2\pi}{3})$

Обе формы записи для $e_3(t)$ являются правильными.

Ответ:

Уравнения зависимости ЭДС от времени для двух других обмоток:

$e_2(t) = \mathcal{E}_0 \cos(\omega t - \frac{2\pi}{3})$

$e_3(t) = \mathcal{E}_0 \cos(\omega t - \frac{4\pi}{3})$ (или, что эквивалентно, $e_3(t) = \mathcal{E}_0 \cos(\omega t + \frac{2\pi}{3})$).