Номер 6.50, страница 136 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 6. Волны. Механические волны - номер 6.50, страница 136.

Условие.

6.50*. Определите длину стоячей волны, если расстояния между точками, колеблющимися с одинаковыми амплитудами, равны 5 и 15 см. Точки расположены на одном луче.

Решение.

Дано:

$l_1 = 5$ см

$l_2 = 15$ см

Перевод в СИ:

$l_1 = 0.05$ м

$l_2 = 0.15$ м

Найти:

$\lambda$

Решение:

Стоячая волна возникает в результате интерференции двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами. Амплитуда колебаний каждой точки в стоячей волне зависит от ее координаты $\text{x}$. Если выбрать начало отсчета ($x=0$) в узле стоячей волны (где амплитуда равна нулю), то зависимость амплитуды от координаты описывается уравнением:

$A(x) = A_{max} |\sin(kx)|$

где $A_{max}$ – максимальная амплитуда в пучностях (антинодах), $k = 2\pi/\lambda$ – волновое число, а $\lambda$ – длина стоячей волны.

Точки, в которых амплитуда колебаний одинакова, должны удовлетворять условию $|\sin(kx)| = \text{const}$.

Узлы стоячей волны (точки с нулевой амплитудой) располагаются в положениях $x_n = n \frac{\lambda}{2}$, где $\text{n}$ – целое число. Расстояние между соседними узлами равно $\lambda/2$.

В каждом промежутке между двумя соседними узлами (например, от $x=0$ до $x=\lambda/2$) существуют две точки, колеблющиеся с одинаковой амплитудой $A_0$ (при $0 < A_0 < A_{max}$). Эти точки расположены симметрично относительно пучности, которая находится ровно посередине между узлами (при $x=\lambda/4$).

Пусть одна такая точка находится на расстоянии $\text{d}$ от узла в $x=0$. Ее координата $x_1 = d$. Тогда вторая точка в этом же промежутке, в силу симметрии, будет находиться на таком же расстоянии $\text{d}$ от следующего узла в $x=\lambda/2$. Ее координата будет $x_2 = \lambda/2 - d$.

Следующая точка с такой же амплитудой будет находиться в соседнем сегменте (между узлами при $x=\lambda/2$ и $x=\lambda$) и ее координата будет $x_3 = \lambda/2 + d$.

Рассмотрим расстояния между соседними точками с одинаковой амплитудой, расположенными на одном луче.
Расстояние между первой и второй точками:
$\Delta x_{12} = x_2 - x_1 = (\frac{\lambda}{2} - d) - d = \frac{\lambda}{2} - 2d$

Расстояние между второй и третьей точками:
$\Delta x_{23} = x_3 - x_2 = (\frac{\lambda}{2} + d) - (\frac{\lambda}{2} - d) = 2d$

Таким образом, расстояния между соседними точками, колеблющимися с одинаковой амплитудой, чередуются, принимая два значения: $\frac{\lambda}{2} - 2d$ и $\text{2d}$.

Согласно условию задачи, эти расстояния равны $l_1 = 5$ см и $l_2 = 15$ см. Следовательно, мы можем составить систему:

$\{\frac{\lambda}{2} - 2d, 2d\} = \{5 \text{ см}, 15 \text{ см}\}$

Сумма этих двух различных расстояний равна:

$(\frac{\lambda}{2} - 2d) + 2d = \frac{\lambda}{2}$

Подставим известные значения:

$\frac{\lambda}{2} = l_1 + l_2 = 5 \text{ см} + 15 \text{ см} = 20 \text{ см}$

Отсюда находим искомую длину стоячей волны:

$\lambda = 2 \times 20 \text{ см} = 40 \text{ см}$

Ответ: 40 см.