Номер 6.57, страница 137 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 6. Волны. Электромагнитные волны - номер 6.57, страница 137.

Условие.

6.57. Плоская гармоническая электромагнитная волна (длина волны $\lambda$) распространяется в вакууме вдоль оси $\text{X}$. В некоторый момент времени в точке с координатой $x = 0$ модуль индукции магнитного поля достиг максимума $B_m$. Какое значение принимает модуль напряжённости электрического поля в этот момент времени в точке с координатой: а) $x = \lambda/4$; б) $x = \lambda/2$; в) $x = 3\lambda/4$; г) $x = \lambda$; д) $x = \lambda/6$; е) $x = \lambda/3$?

Решение.

Дано:

Плоская гармоническая электромагнитная волна.

Среда распространения: вакуум.

Направление распространения: вдоль оси X.

Длина волны: $ \lambda $.

В момент времени $ t_0 $ в точке с координатой $ x = 0 $ модуль индукции магнитного поля достигает максимума, $ |B(0, t_0)| = B_m $.

Найти:

Модуль напряженности электрического поля $ |E| $ в момент времени $ t_0 $ в точках с координатой:

а) $ x = \lambda/4 $

б) $ x = \lambda/2 $

в) $ x = 3\lambda/4 $

г) $ x = \lambda $

д) $ x = \lambda/6 $

е) $ x = \lambda/3 $

Решение:

Уравнение плоской гармонической электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси X, можно записать в виде:

$ B(x, t) = B_m \cos(\omega t - kx + \phi_0) $

$ E(x, t) = E_m \cos(\omega t - kx + \phi_0) $

где $ B_m $ и $ E_m $ — амплитуды индукции магнитного поля и напряженности электрического поля, $ \omega $ — угловая частота, $ k $ — волновое число, $ \phi_0 $ — начальная фаза. В электромагнитной волне колебания векторов $ \vec{E} $ и $ \vec{B} $ происходят синфазно (в одинаковой фазе).

Амплитуды связаны соотношением $ E_m = cB_m $, где $ c $ — скорость света в вакууме.

По условию, в некоторый момент времени $ t_0 $ в точке $ x = 0 $ модуль индукции магнитного поля максимален: $ |B(0, t_0)| = B_m $.

Подставим эти значения в уравнение для $ B $:

$ |B_m \cos(\omega t_0 - k \cdot 0 + \phi_0)| = B_m $

$ |\cos(\omega t_0 + \phi_0)| = 1 $

Это означает, что фаза в этот момент времени в этой точке $ \omega t_0 + \phi_0 = n\pi $, где $ n $ — целое число. Для определенности, выберем такой момент времени $ t_0 $ и начальную фазу $ \phi_0 $, что $ \omega t_0 + \phi_0 = 2\pi n $, тогда $ \cos(\omega t_0 + \phi_0) = 1 $.

Тогда зависимость полей от координаты $ x $ в данный момент времени $ t_0 $ ("моментальный снимок" волны) будет иметь вид:

$ B(x, t_0) = B_m \cos(2\pi n - kx) = B_m \cos(-kx) = B_m \cos(kx) $

$ E(x, t_0) = E_m \cos(kx) $

Волновое число $ k $ связано с длиной волны $ \lambda $ соотношением $ k = \frac{2\pi}{\lambda} $.

Таким образом, для нахождения модуля напряженности электрического поля в разных точках в этот момент времени, мы используем формулу:

$ |E(x)| = |E_m \cos(\frac{2\pi x}{\lambda})| = E_m |\cos(\frac{2\pi x}{\lambda})| $

Рассчитаем значения для каждого пункта.

а) Для точки $ x = \lambda/4 $ имеем: $ |E| = E_m |\cos(\frac{2\pi (\lambda/4)}{\lambda})| = E_m |\cos(\frac{\pi}{2})| = E_m \cdot 0 = 0 $. Ответ: $ |E| = 0 $.

б) Для точки $ x = \lambda/2 $ имеем: $ |E| = E_m |\cos(\frac{2\pi (\lambda/2)}{\lambda})| = E_m |\cos(\pi)| = E_m \cdot |-1| = E_m $. Ответ: $ |E| = E_m $.

в) Для точки $ x = 3\lambda/4 $ имеем: $ |E| = E_m |\cos(\frac{2\pi (3\lambda/4)}{\lambda})| = E_m |\cos(\frac{3\pi}{2})| = E_m \cdot 0 = 0 $. Ответ: $ |E| = 0 $.

г) Для точки $ x = \lambda $ имеем: $ |E| = E_m |\cos(\frac{2\pi \lambda}{\lambda})| = E_m |\cos(2\pi)| = E_m \cdot 1 = E_m $. Ответ: $ |E| = E_m $.

д) Для точки $ x = \lambda/6 $ имеем: $ |E| = E_m |\cos(\frac{2\pi (\lambda/6)}{\lambda})| = E_m |\cos(\frac{\pi}{3})| = E_m \cdot \frac{1}{2} = \frac{E_m}{2} $. Ответ: $ |E| = E_m/2 $.

е) Для точки $ x = \lambda/3 $ имеем: $ |E| = E_m |\cos(\frac{2\pi (\lambda/3)}{\lambda})| = E_m |\cos(\frac{2\pi}{3})| = E_m \cdot |-\frac{1}{2}| = \frac{E_m}{2} $. Ответ: $ |E| = E_m/2 $.